pcfamily

Cho $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{a+b+c}{4}$

Ta có : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq (a+b+c)^{3}=27(holder)$

Mà : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})(\frac{(a+b+c)^{2}}{3} + (a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 3\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} (30-\frac{8(a+b+c)^{3}}{9})\geq 18\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} \geq 27$ ( đã cm trên )

=> Min : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}$ = $\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

Bạn xem lại nhé, ở đây bạn sử dụng mệnh đề $A\geq 27; A\geq B$ để suy ra $B\geq 27$ là chưa chính xác.

Bạn xem lại đề bài được không? Mình thử bằng máy tính với a=0, b càng nhỏ thì giá trị của P càng nhỏ, mà b khác 0 nên có lẽ không  tìm được min 

Đề bài chính xác rồi bạn, b đâu có khác 0, hay vì bạn cho a=0 nên quy cho b phải khác 0 @@

Thử đặt $\sqrt{x+1} = a; \sqrt[3]{x+5} = b (a \geq 0)$

Ta được hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2a + 8b = a^2.b^3\\ b^3-a^2 = 4 \end{matrix}\right.$

 

Nếu không được thì liên hợp thử.

Mình đã thử cả 2 cách và không thành công

hơn nữa nếu a,b,c có dương thì a=12334, b=67887666, c=37487859 bdt vẫn sai

Mình sót điều kiện, sorry