Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


pcfamily

Đăng ký: 19-07-2012
Offline Đăng nhập: 13-09-2017 - 18:41
-----

#692452 Chọn hai đoạn thẳng có độ dài bất kỳ từ 0m đến 1m. Tính xác suất sao cho tỷ s...

Gửi bởi pcfamily trong 06-09-2017 - 01:14

Chọn hai đoạn thẳng có độ dài bất kỳ từ 0m đến 1m. Tính xác suất sao cho tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng đó nằm trong khoảng $(\frac{1}{2},2)$.




#653514 $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+...

Gửi bởi pcfamily trong 09-09-2016 - 22:30

Cho $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{a+b+c}{4}$


#594465 $(a^5-a^2+2)(b^5-b^2+2)(c^5-c^2+2)\geq (a+b+c)^3$

Gửi bởi pcfamily trong 19-10-2015 - 20:14

Bài này của Mỹ $2004$, hình như là $+3$ chứ không phải $+2$


Đúng rồi ạ, đề đúng thì em làm được rồi :D


#542715 $\sum \sqrt{a^2+3}\leq 2(a+b+c)$

Gửi bởi pcfamily trong 02-02-2015 - 17:52

Cho $a,b,c$ dương và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:

 

$\sum  \sqrt{a^2+3}\leq 2(a+b+c)$




#538013 $\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(1-a)^3...

Gửi bởi pcfamily trong 15-12-2014 - 07:01

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(1-a)^3}}\geq 1$




#477254 $\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum...

Gửi bởi pcfamily trong 14-01-2014 - 18:38

cho a,b,c >0 . CM:

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{ a}{ a+b}$

* Bổ đề: BĐT hoán vị:

 Cho 2 dãy số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq a_{1}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq b_{3}$

Ta có bđt: $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\geq a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+a_{3}b_{i_{3}}$

Với $b_{i_{1}},b_{i_{2}},b_{i_{3}}$ là các hoán vị tuỳ ý của $b_{1},b_{2},b_{3}$

Chứng minh: $VT-VP=a_{1}(b_{1}-b_{i_{1}})+a_{2}(b_{2}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{3}-b_{i_{3}})$

$=(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{i_1})+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2}-b_{i_1}-b_{i_{2}})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3}-b_{i_{1}}-b_{i_{2}}-b_{i_{3}})$

$\geq 0\Rightarrow DPCM$

Trở lại bài toán:

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

nên $\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$

Áp dụng BĐT hoán vị có ĐPCM




#477187 $\frac{x}{y}+\frac{y}{z...

Gửi bởi pcfamily trong 14-01-2014 - 11:42

 

 

 

Xét $\frac{x}{y}-\frac{z(x+y)}{y(y+z)}=\frac{xy+xz-xz-zy}{y(y+z)}=\frac{x-z}{y+z}$

Tương tự, bđt tương đương:

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{x+y}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$

 nên $\frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{z+x}\geq \frac{1}{x+y}$

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị có ĐPCM.




#477082 Tìm min của P= $\frac{1}{\left ( a+1 \righ...

Gửi bởi pcfamily trong 13-01-2014 - 18:08

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+ac+bc=3,  $a\geq c$ tìm giá trị nhỏ nhất của 

P= $\frac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}+\frac{2}{\left ( 1+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( 1+c \right )^{2}}$

$a\geq c\Rightarrow \frac{1}{(c+1)^2}\geq \frac{1}{(a+1)^2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{2}{(1+a)^2}+\frac{2}{(1+b)^2}+\frac{2}{(1+c)^2}$

Áp dụng bđt: $\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$

Tương tự, cộng lại được:

$P\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca+3}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$




#475850 $a^2\overrightarrow{MA}+b^2\overrightarrow{MB...

Gửi bởi pcfamily trong 06-01-2014 - 22:10



Cho $\Delta ABC,BC=a,CA=b,AB=c$ và $M$ là điểm nằm trong tam giác. Gọi $H,I,K$ là hình chiếu của $M$ lên $BC,CA,AB$

a) CMR: $\frac{a}{MH}\overrightarrow{MH}+\frac{b}{MI}\overrightarrow{MI}+\frac{c}{MK}\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

b) CMR $M$ là trọng tâm $\Delta HIK$ khi và chỉ khi $a^2\overrightarrow{MA}+b^2\overrightarrow{MB}+c^2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Câu a/ là trường hợp riêng của định lý con nhím. Bạn xem thêm ở đây 

 

b/ Với mọi điểm $M$ trong tam giác $ABC$ ta có:

58462417.untitled.jpg




#458728 TOPIC:Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng THCS

Gửi bởi pcfamily trong 19-10-2013 - 22:38

Mượn anh Perfectstrong cái hình :D

 

Untitled-120.png

Vẽ đường thẳng $OA$ giao $(O)$ tại $C,D$ và $C$ nằm giữa $O,A$
Trên đoạn $OC$ lấy $I$ sao cho $R={\sqrt 2}OI \Rightarrow \dfrac{OI}{OM}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{OM}{OA}$           
 $\Rightarrow \vartriangle OMI \sim \vartriangle OAM (c.g.c) \Rightarrow MA=\sqrt 2 MI$
$\Rightarrow MA+\sqrt 2 MB=\sqrt 2(MI+MB) \geq \sqrt 2 IB$
Dấu bằng xảy ra khi $M=IB\bigcap (O)$

Vậy $Min(MA+\sqrt{2}MB)=IB \Leftrightarrow M=IB\bigcap (O)$

 

P/s: Bạn này chắc ở Phú Xuyên thi sáng nay hở :D




#453336 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trực tuyến

Gửi bởi pcfamily trong 27-09-2013 - 09:45

Bất đẳng thức đã mở hàng :D




#449152 Tìm $GTNN$ của $MP$

Gửi bởi pcfamily trong 09-09-2013 - 22:46

Tứ giác $ABCD$ có $M,N,P,Q$ là trung điểm của $AB,AC,CD,BD$. $AD+BC=2014$
Tìm $GTNN$ của $MP$



#442942 Cho x+y+z=1.CM

Gửi bởi pcfamily trong 15-08-2013 - 08:40

 

b) Cho x,y,z $\geq$ 0; x+y+z=1.

CMR : 4(1-a)(1-b)(1-c)$\leq$ a+b+2c

Đã có ở đây: http://diendantoanho...lant41-a1-b1-c/




#440594 $\left\{\begin{matrix} x^3-8x=y^3+2y &...

Gửi bởi pcfamily trong 05-08-2013 - 13:29

Hệ này không phải hệ đẳng cấp, mình cũng có theo dõi màn cãi nhau của hai bạn nhưng không tiện xen vào :))




#439092 $a+b+c-abc$

Gửi bởi pcfamily trong 29-07-2013 - 15:22

Mình có một thắc mắc muốn thỉnh giáo  :icon6:

VD1.1.9 trang 9, quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" của anh PKH như thế này:

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$|a|+|b|+|c|-abc\leq4$

 

LỜI GIẢI: Áp dụng trực tiếp bđt AM-GM:

$a^2b^2c^2\leq (\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^3=1\Rightarrow -abc\leq 1$

$(|a|+|b|+|c|)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9\Rightarrow |a|+|b|+|c|\leq 3$

Cộng lại ta được ĐPCM. Sau đó tác giả có một nhận xét ở dưới:

" Bạn đọc thử làm bài toán trên nếu ta bỏ đi các đấu giá trị tuyệt đối, tìm max của $a+b+c-abc$. Đây là một bài toán rất thú vị và không dễ. "

 

Rất tò mò với dòng nhận xét này, mình đang không hiểu vì sao khi bỏ dấu GTTĐ đi bài toán lại thay đổi, bạn nào có lời giải thì làm ơn đăng lên cho mình và mọi người tham khảo. Thân