pcfamily

Phương pháp: Biểu thức M biến đổi thành $M=\frac{\sqrt{3}xy+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$. Xét trường hợp y=0, tính ra M. Xét trường hợp y khác 0. Chia tử v$y\neq 0$à mẫu cho $y^{2}$ rồi đặt a=x/y. Ta trở về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M bằng phương pháp miền giá trị của tam thức bậc hai.

Ừm, vậy em làm thử xem sao:

$M=\frac{\sqrt{3}xy+y^2}{x^2+y^2}$

Xét $y=0\Rightarrow M=0$

Xét $y\neq 0\Rightarrow M=\frac{\frac{\sqrt{3}x}{y}+1}{(\frac{x}{y})^2+1}$

Đặt $\frac{x}{y}=a\Rightarrow M=\frac{\sqrt{3}a+1}{a^2+1}\Rightarrow Ma^2-\sqrt{3}a+M-1=0$

Để pt có nghiệm thì $\Delta =-4M^2+4M+3\geq 0$

$\Leftrightarrow (3-2M)(2M+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq M\leq \frac{3}{2}$

Bài 1.1:

 

$P_{(x)}=(3x-2)^{3}+(2-3x)(3x^{2}-3x+1)$

$=(3x-2)(6x^{2}-9x+3)$

$=(3x-2)(x-1)(x-\frac{1}{2})$

 

Làm vội ko biết đúng ko nữa                 

 

 Bước cuối bạn nhầm rồi 

Bài này còn cách áp dụng bổ đề: Với $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

Kết quả cuối cùng là: $P=3(3x-2)(1-2x)(1-x)$

Ai giải hình đi mọi người! 

Câu a chắc phải vẽ hai trường hợp. Trường hợp này là E nằm ngoài tam giác ABC.

$\widehat{CNE}=\widehat{ANP}=90^{0}-\frac{\widehat{A}}{2}$

$\widehat{COE}=180^{0}-\widehat{BOC}=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{COE}=\widehat{CNE}$

$\Rightarrow CONE$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

TH còn E nằm trong thì cũng chứng minh cái tứ giác này nội tiếp ...

Làm được câu a/ là ra tất 

Đáp án đây 

http://www.mediafire...v2_CSP_2013.pdf

Bài 1.a mình làm dư lày:

Nhân hai phương trình vào được:

$(abc)^4=(a+b)(a^3+b^3)(b+c)(b^3+c^3)(c+a)(c^3+a^3)$

$\geq (a^2+b^2)^2(b^2+c^2)^2(c^2+a^2)^2$

$\geq 64(abc)^4$

Suy ra $ĐPCM$

Cho hình thang $ABCD$ có đường chéo $AC$ bằng cạnh bên $BC$. Một đường thẳng đi qua trung điểm $M$ của đáy lớn $AB$ cắt tia đối của tia $AD$ ở $E$, cắt đường chéo $BD$ ở $F$. Chứng minh: $\angle ACE=\angle BCF$

Cho hình vuông $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E$. Một đường thẳng qua $A$ cắt $BC$ và $CD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $K$ là giao của $EM$ và $BN$.

CMR: $CK\perp BN$

Cho $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1$

Tính: $P=x^{2005}+y^{2005}$

Xét dãy $49^{2011}+1$ số $5^k; 5^{k+1};...;5^{k+49^{2011}}$ với $k$ là số tự nhiên sao cho $5^k>49^{2011}$

Theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số thuộc dãy trên có cùng số dư khi chia cho $49^{2011}$. Giả sử hai số đó là $5^i; 5^j (i>j)$ 

Suy ra $(5^i-5^j)\vdots 49^{2011}$$\Leftrightarrow 5^j(5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$ mà $(5^i; 49^{2011})=1 \Rightarrow (5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$

Suy ra ĐPCM

khúc cuối phải là $2013^3$ chứ ko phải $2013^2$ nka bạn

Ừm, đã sửa 

Cho 2 số nguyên dương $x;y$ thỏa $x + y = 2013$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của $P = x( x^2 + y ) + y( y^2 + x )$

$P=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy)=(x+y)^3-6037xy$

Lại có: $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy\Leftrightarrow 4xy=2013^2-(x-y)^2$

Như vậy $xy$ tăng (giảm) khi $|x-y|$ giảm (tăng)

và $x,y$ nguyên dương nên $1\leq |x-y|\leq 2011$

Từ đó:$GTNN  P$=$ 2013^3-6037.1006.1007$. Dấu "=" xảy ra khi (x;y) bằng (1006;1007) hoặc (1007;1006)

$GTLN  P=2013^3-6037.1.2012$. Dấu "=" xảy ra khi $(x;y)$ bằng $(1;2012)$ hoặc $(2012;1)$

Đề bài chính xác là: Cho $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Chứng minh rằng: $x^2+y^2+z^2\geq 3$. Giải như sau:

Đặt $t=x^2+y^2+z^2$, ta có những bđt quen thuộc:

$3t\geq (x+y+z)^2\Rightarrow \sqrt{3t}\geq x+y+z$

$t\geq xy+yz+zx$

Cộng vào ta được: $t+\sqrt{3t}\geq 6$. Đặt $\sqrt{3t}=a\Leftrightarrow \frac{a^2}{3}+a\geq 6\Leftrightarrow a^2+3a-18\geq 0\Leftrightarrow (a+6)(a-3)\geq 0$

Vậy $a\leq -6$ hoặc $a\geq 3$ mà $a\geq 0$ suy ra $a=\sqrt{3t}\geq 3$$\Leftrightarrow 3t\geq 9\Leftrightarrow t\geq 3$ (ĐPCM)

 

Giải phương trình nghiệm nguyên dương :
$(x+1)(y+z)=xyz+2$

 

$\Leftrightarrow xyz+2=xy+xz+y+z\Leftrightarrow x(yz-y-z)=y+z-2\Leftrightarrow x(yz-y-z+1)=x+y+z-2\Leftrightarrow x(y-1)(z-1)=x+(y-1)+(z-1)$

Đặt $a=x; b=y-1; c=z-1$, bài toán trở thành: Tìm ba số nguyên không âm a, b, c sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Quen quá   cách giải phổ biến là giả sử $a\geq b\geq c$ rồi biến đổi, nhưng ở đây chưa thể vội được   do vai trò của a, b, c là không bình đẳng $(a\geq 1; b\geq 0; c\geq 0)$ Nên công việc bây giờ là chứng minh $b\geq 1; c\geq 1$. 

Thật vậy, giả sử $b=0\Rightarrow a+b+c=abc\Leftrightarrow a+c=0$ vô lý do $a+c\geq 1$ suy ra $b\geq 1$. Tương tự ta được $c\geq 1$.

Bài toán trở thành: Tìm 3 số nguyên dương a, b, c sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Đến đây thì có thể dễ dàng xử lý được rồi 

Bài 2 (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-9=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0\end{matrix}\right.$

Bài này là ......5x+5y-6=0 bạn ơi

Chữa luôn phần này:

(1) <=> $y^2+y(x-5)-6x^2-5x+6=0$

$\Delta =x^2-10x+25+24x^2+20x+1=(5x+1)^2$. Từ đó tìm ra y và thay vào (2)

Bài 3 (2 điểm). Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{27a^{2}+3c^{2}-3c^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}=\frac{3}{c}-\frac{3c}{c^{2}+9a^{2}}\geq \frac{3}{c}-\frac{1}{2a}$

Tương tự, cộng lại