Thế dấu =xảy ra khi nào
Bất đẳng thức này thực sự chặt. cho 1 biến tiến ra biên và 2 biến chập lại nhau Vd $$a=0,b=c=1,5$$ sẽ thu được giá trị sát 13
- Nguyen Minh Hai, Nguyen Huy Hoang, thansau99 và 1 người khác yêu thích
Gửi bởi diepviennhi trong 06-07-2015 - 20:49
Thế dấu =xảy ra khi nào
Bất đẳng thức này thực sự chặt. cho 1 biến tiến ra biên và 2 biến chập lại nhau Vd $$a=0,b=c=1,5$$ sẽ thu được giá trị sát 13
Gửi bởi diepviennhi trong 24-05-2014 - 12:22
Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$
Đề của
Trước hết ta chứng minh Bất Đẳng thức Sau: BĐT Cauchy - Schwar
$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ Với $ a;b;x;y >0$
Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^{2}y+b^{2}x}{xy}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{x+y}\Leftrightarrow a^{2}xy+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}xy\geq a^{2}xy+b^{2}xy+2abxy\Leftrightarrow (ay-bx)^{2} \geq 0$ Luôn đúng
Dấu $"="$ xảy ra khi $ ay=bx$
Áp dụng ta có $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}+\frac{d^{2}}{t}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}+\frac{(c+d)^{2}}{z+t}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{x+y+z+t}$
Ta có BĐT $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}+\frac{d^{2}}{t}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{x+y+z+t} (*) $
Quay trở lại bài toán ta thấy :
Do $xyzt=1\rightarrow \frac{1}{x^{2}}=(yzt)^{2};\frac{1}{y^{2}}=(ztx)^{2},\frac{1}{z^{2}}=(txy)^{2},\frac{1}{t^{2}}=(xyz)^{2}$
Dẫn đến $\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}=\frac{(yzt)^{2}}{xyz+xzt+zty};\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}=\frac{(ztx)^{2}}{xyz+yzt+xyt};\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}=\frac{(xyt)^{2}}{xzt+yzt+xyz};\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}=$
$P=\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}=\frac{(yzt)^{2}}{xyz+xzt+zty}+\frac{(ztx)^{2}}{xyz+yzt+xyt}+\frac{(xyt)^{2}}{xzt+yzt+xyz}+\frac{(xyz)^{2}}{xyt+yzt+xzt} \geq \frac{(xyz+xyt+xzt+yzt)^{2}}{3(xyz+xyt+xzt+yzt)}=\frac{(xyz+xyt+yzt+xzt)}{3}\geq\frac{4.\sqrt[4]{(xyzt)^{3}}}{3}=\frac{4}{3}$
Vậy BĐT được chứng minh;
Dấu $ "="$ đạt tại $ x=y=z=t=1$
Nên Kết hợp với (*) ta có
Gửi bởi diepviennhi trong 23-05-2014 - 14:36
Cho tam giác ABC có :$\cot A+\cot B+\cot C=3\sqrt{3}$
chứng minh tam giác ABC cân.
@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề và việc gõ latex
Bài này mình nghĩ đề có vấn đề thì phải. Theo mình là Cho $cotA+cotB+cotC=\sqrt{3}$. Chứng minh tam giác đều
Còn với đề như trên thì thử các góc lần lượt từ $0^{\circ}\rightarrow 90^{\circ}$ chả thấy thỏa góc nào cả?
Gửi bởi diepviennhi trong 23-05-2014 - 13:51
$\left\{\begin{matrix} x^3y(1+y)+x^2y^2(2+y)+xy^3=30 & & \\ x^2y+x(1+y+y^2)+y=11& & \end{matrix}\right.$
Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x^{2}+y^{2}+2xy)+x^{2}.y^{2}(x+y)=30\\ xy(x+y)+x+y+xy=11 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)^{2}+x^{2}.y^{2}(x+y)=30\\ xy(x+y)+x+y+xy=11 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy.(x+y)(x+y+xy)=30\\ xy(x+y)+x+y+xy=11 \end{matrix}\right.$
* Trường hợp 1: $\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=6\\ xy+x+y=5 \end{matrix}\right.$
Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ xy=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x;y)=(2;1);(1;2)$
Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ xy=3 \end{matrix}\right.$. Hệ vô nghiệm vì $ S^{2} \geq 4P$
* Trường hợp 2: $\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=5\\ xy+x+y=6 \end{matrix}\right.$
Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=5\\ xy=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x;y)=(\frac{5+\sqrt{21}}{2};\frac{5-\sqrt{21}}{2});(\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2})$
Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ xy=5 \end{matrix}\right.$. Hệ này vô nghiệm vì $ S^{2} \geq 4P$
Vậy hệ có nghiệm $ (x;y)=(\frac{5+\sqrt{21}}{2};\frac{5-\sqrt{21}}{2});(\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2});(2;1);(1;2)$
Gửi bởi diepviennhi trong 23-05-2014 - 13:28
Giải bất phương trình: $\frac{\sqrt{x}-2x}{\sqrt{3x+1}} + \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{x}+2x+1} \geq 1$
Điều kiên $x \geq0$
Khi ấy $\sqrt{3x+1} \geq1>0, \sqrt{x}+2x+1 \geq 1>0$
Do đó Bất phương trình $\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2x)(\sqrt{x}+2x+1)+3x+1 \geq \sqrt{3x+1}( \sqrt{x}+2x+1)\Leftrightarrow \sqrt{x}+2x+1-4x^{2}\geq \sqrt{3x+1}( \sqrt{x}+2x+1)\Leftrightarrow 4x^{2}+(\sqrt{x}+2x+1)(\sqrt{3x+1}-1)\leq0\Leftrightarrow 4x^{2}+\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}.(\sqrt{x}+2x+1)\leq0$
Với $x \geq0\rightarrow 3x \geq0;\sqrt{3x+1}+1\geq1+1=2>0;\sqrt{x}+2x+1\geq1>0\Rightarrow \frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}.(\sqrt{x}+2x+1)\geq0;4x^{2}\geq0\Rightarrow 4x^{2}+\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}.(\sqrt{x}+2x+1)\geq0$
Do đó Bất phương trình $\Leftrightarrow 4x^{2}+\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}.(\sqrt{x}+2x+1)=0\Leftrightarrow x=0$
Vậy Bất phương trình có tập nghiệm là $ S={0}$
Gửi bởi diepviennhi trong 23-05-2014 - 13:12
$x+1+\sqrt{x^{2}-4x+1}\geq 3\sqrt{x}$
Điều kiện $x\in[0,2-\sqrt{3}]\cup [2+\sqrt{3};+\infty )$
Xét $x=0$ là nghiêm của bài toán
Xét $x\neq 0$. ta chia cả hai vế của Bất phương trình cho $\sqrt{x}$ ta được
$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}\geq3$, Đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=t\geq 2\rightarrow x+\frac{1}{x}=t^{2}-2$
Bất phương trình có dạng $ t+ \sqrt{t^{2}-6} \geq3$
Trường hợp 1: ta có $\left\{\begin{matrix} t^{2}-6\geq0 & \\ 3-t\leq0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t\geq3$
Trường hợp 2: ta có $\left\{\begin{matrix} t^{2}-6\geq t^{2}-6t+9 & \\ 3-t \geq0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{5}{2} \leq t \leq 3$
Tóm lại ta có $ t \geq \frac{5}{2}$
Dẫn đến $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sqrt{x} \in (-\infty ;\frac{1}{2}]\cup [2,+\infty )\Leftrightarrow x \in (0;\frac{1}{4}]\cup [4,+\infty )$
Vậy Bất phương trình có tập nghiệm là $S=[0,\frac{1}{4}] \cup[4;+\infty )$
Gửi bởi diepviennhi trong 01-03-2014 - 21:38
Có bao nhiêu cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam sao thành 1 hàng dọc sao cho giữa 2 người nữ phải có ít nhất 1 người nam.
Đề thi của
Ta sẽ sử dụng phương pháp đếm bù
* Đếm số cách xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành 1 hàng dọc sao cho giữa hai người nữ không có người nam nào
Vì giữa hai em nữ bất kì đều khong có 1 em nam nào nên 4 em nữ lập thành một khối, ta coi khối "4 em nữ" là một vị trí trong hàng. Như vậy, 8 em nam và khối 4 em nữ tạo thành 9 vị trí trong hàng. Việc xếp chỗ được tiến hành theo hai công đoạn
- Công đoạn 1: Xếp chỗ cho 8 em nam và khối 4 em nữ . Ta có 9! cách xếp.
- Công đoạn 2: Xếp chỗ trong nội bộ khối 4 em nữ: ta có 4! cách xếp
Theo quy tắc nhân ta có 9!.4!=8709120 cách xếp
* Số cách xếp 12 em học sinh gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc là 12!
Vậy số cách sắp xếp 12 người gồm 4 nữ và 8 nam thành một hàng dọc sao cho giữa hai bạn nữ phải có ít nhất 1 bạn nam là
$12!-9!.4!=470292480$
Gửi bởi diepviennhi trong 09-02-2014 - 13:36
Đề Bài
Giải phương trình lượng giác sau :
$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$
Toán thủ ra đề: hoangkkk
Bài làm
Phương trình $$\Leftrightarrow4 sinx.cosx.cos2x - 4sinx = cos3x + cosx - 2\Leftrightarrow 4sinx ( cosx.cos2x - 1) = 2cos2x.cosx - 2 \Leftrightarrow ( 2sinx - 1)( cosx.cos2x - 1)=0$$
* Trường hợp 1: $ sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{ \pi}{6} + k2 \pi hoặc x= \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi $
* Trường hợp 2: $ cosx.cos2x = 1 \Leftrightarrow 2.cosx.cos2x=2 \Leftrightarrow ( 1-cosx) + (1-cos3x) = 0 \Leftrightarrow 2 sin^{2} \frac{x}{2} + 2sin^{2} \frac{3x}{2}=0 \Leftrightarrow sin^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{3x}{2}=0 $
Do $sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0$ và $sin^{2} \frac{3x}{2} \geq 0$ nên phương trình $ \Leftrightarrow sin \frac{x}{2} =sin \frac{3x}{2}=0
\Leftrightarrow sin \frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x= k2 \pi$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S={ \frac{ \pi}{6} + k2 \pi; \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi ;k2 \pi}$
Tình hình là mình đã phải thay mắt kính mới sau khi chấm xong bài của bạn. Bạn nên vào phần xem trước, chỉnh sửa kỹ trước khi nộp bài. Bài của bạn làm đúng, nhưng do trình bày latex bạn không đảm bảo nên mình không thể cho bạn điểm cao.
Bạn chưa nói rõ $k$ là gì.
$\boxed{\text{Điểm bài thi}:4.0}$
S=3.7+4*3=15.7
Gửi bởi diepviennhi trong 04-01-2014 - 16:31
Với $x=0\rightarrow VT=8\neq VP=0$ nên $x=0$ không là nghiệm phương trình
Chia hai vế phương trình cho $x^{3}$ ta được Phương trình $\Leftrightarrow 8(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})-2\sqrt[3]{6(x+\frac{1}{x})+1}-1+22(x+\frac{1}{x})=0$
Đặt $t=x+\frac{1}{x};\begin{vmatrix} t \end{vmatrix}\geq 2$
Để ý rằng $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2;x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})^{3}-3x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=t^{3}-3t$
Thế vào phương trình $\Rightarrow 8(t^{3}-3t)-2.\sqrt[3]{6t+1}+22t-1=0\Leftrightarrow 8t^{3}-2t-1=\sqrt[3]{6t+1}$
Đặt $\sqrt[3]{6t+1}=2a\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8a^{3}-6t-1=0\\ 8t^{3}-2t-1-2.2a=0 \end{matrix}\right.\rightarrow 8(t^{3}-a^{3})+4t-4a=0\Leftrightarrow 8(t-a)(t^{2}+ta+a^{2})+4(t-a)=0\Leftrightarrow 4(t-a)\begin{bmatrix} 2(t^{2}+ta+a^{2})+1 \end{bmatrix}=0$
Do $2(t^{2}+ta+a^{2})+1=2.(t+\frac{a}{2})^{2}+\frac{3}{2}a^{2}+1\geq 1>0$ nên ta có
$t=a\rightarrow \sqrt[3]{6t+1}=2t\Leftrightarrow 8t^{3}-6t-1=0\Leftrightarrow 4t^{3}-3t=\frac{1}{2}$
$\star$ Nếu $t\geq 2\rightarrow t(4t^{2}-3)\geq 2.(4.2^{2}-3)=26>\frac{1}{2}$ nên phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm
$\star$ Nếu $t\leq -2 \rightarrow t(4t^{2}-3)\leq- 2.(4.2^{2}-3)=-26<\frac{1}{2}$ nên phương trình $8t^{3}-6t-1=0$ vô nghiệm
Do phương trình ẩn t vô nghiệm nên phương trình ẩn x vô nghiệm
Vậy Phương trình đã cho vô nghiệm
$\boxed{Điểm: 10}$
S=11+3*10 = 41
Gửi bởi diepviennhi trong 11-12-2013 - 17:47
Chứng minh rằng $1.(C_{n}^{1})^{2}+2.(C_{n}^{2})^{2}+...+n.(C_{n}^{n})^{2}=n.C^{n-1}_{2n-1}$
Gửi bởi diepviennhi trong 29-11-2013 - 12:55
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt tối đa 1 lần
Gửi bởi diepviennhi trong 29-11-2013 - 12:52
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà có mặt chữ số 0 và chữ số 1
Gửi bởi diepviennhi trong 16-11-2013 - 15:45
Chứng minh $\sum_{k=0}^{n}\frac{C_{n}^{k}}{C_{n+k+2}^{k+1}}=\frac{1}{2} (\forall 0\leq k\leq n;k,n \in Z )$
Gửi bởi diepviennhi trong 07-11-2013 - 20:47
$VT=\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^kx^k \right)\left(\sum_{k=1}^{2n} C_{2n}^k(-1)^kx^{2n-k} \right)$
$VP=\sum_{i=1}^{2n} C_{2n}^i(-x)^{2n}$
Lời giải khá hay. Mình nghĩ cái chỗ k với i ý. hình như lấy cả giá trị 0 nữa thì phải.Bạn viết có k=1
Gửi bởi diepviennhi trong 07-11-2013 - 18:35
Chứng minh $(C_{2n}^{0})^{2}-(C_{2n}^{1})^{2}+(C_{2n}^{2})^{2}-...+(C_{2n}^{2n})^{2}=(-1)^{n}(C_{2n}^{n})^{2}$
Chứng minh $C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=C_{n+k}^{2n}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học