chrome98

bài đầu tiên bạn cần thấy nó tăng và bị chặn là hội tụ, nhé.

Bạn để ý bài thứ hai sẽ trông thấy biểu thức bằng một nửa của $\sum_{i=2}^{\infty} \dfrac{1}{i}$, mà tổng này tiến ra $\infty$ (bạn tự chứng minh) nên nó phân kì.

đây đều là các bài tập đơn giản, bạn hãy dành thời gian suy nghĩ

$16^n-9^n-7\equiv 1-0-1\equiv 0\pmod 3, 16^n-9^n-7\equiv 2^n-2^n-0\equiv 0\pmod 7, 16^n-9^n-7\equiv 0-1-(-1)\equiv 0\pmod 8$. Mặt khác $3,7,8$ là ba số nguyên tố cùng nhau, nên ta suy ra đpcm.

Mấy bài này bạn nên tham khảo sách của các thầy Vũ Dương Thụy và Vũ Hữu Bình, Phạm Minh Phương. Các thầy cũng có viết về các bài toán chia hết và đồng dư.

Bài 32: 

Here is the proposed problem and proposed solution by chrome98:

Prob: Cho một hình vuông kích cỡ $45\times 45$ chứa $2025$ ô vuông đơn vị, mỗi ô điền một số và mỗi số điền một ô trong tập hợp $\{1,2,\cdots , 2025\}$. Ta thực hiện cách điền trên một cách ngẫu nhiên nhưng luông thoả mãn tính chất: với $\forall k\in \{1,2,\cdots ,45\}$ sao cho tích các số ở hàng thứ $k$ luôn bằng tích các số ở cột thứ $k$. Hỏi cách trên có thể thực hiện được không ? Chỉ ra một cách điền thoả mãn.

 

Sol: Ta thấy rằng các số nguyên tố nằm trong khoảng $\left[ \left\lceil \frac{45^2}{2} \right\rceil ; 45^2-1 \right]$ phải luôn nằm trong đường chéo chính của bảng (tức đường chéo đi từ ô góc bên này tới ô góc đối diện) bởi nếu không thì tích một hàng $i$ sẽ là bội của số ntố $p$ này nhưng cột $i$ lại không là bội của $p$, mâu thuẫn. Nhận thấy các số số nguyên tố nằm trong khoảng $\left[\left \lceil \frac{45^2}{2} \right\rceil ; 45^2-1 \right]$ là luôn ít nhất $46$ số (tham khảo tại http://aleph0.clarku...ers/primes.html). Vậy nên không thể điền được một bảng $45\times 45$ thoả mãn. $\Box$ 

 

BTC không chấp nhận đề thi này

Lí do:

- Không rõ tên, lớp

E.Galois