Tang Chau Phong

Cho x, y, z là các số thực thỏa: $x^2+y^2+z^2 = 2$. CMR: $\left| {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right| \le 2\sqrt 2$

bất đẳng thức trên tg đương với $2\sqrt{2} \geq VT\geq -2\sqrt{2}$
sau đó chứng minh từng cái 1 bằng phương pháp dồn biến.
P/s: theo mình suy nghĩ là thế mà hiện h k có giấy bút

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}x+y=8 \\ \sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10 \end{matrix}\right.$

$\inline VT(2) \geq \sqrt{(x+y)^{^{2}}+ 6^{^{2}}}\geq 10$
dấu = xr khi x=y=4

Bài 2: Ta có 1 BĐT quen thuộc
Với $x,y,z>0, xyz=1$ thì: $$\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\ge 1.$$
BĐT cần chứng minh tương đương: $$P=\frac{1}{7x^2-x+3}+\frac{1}{7y^{2}-y+3}+\frac{1}{7z^{2}-z+3}\ge \dfrac{1}{3}.$$
với $xyz=1$.

Từ chỗ này có thể đưa về khảo sát hàm $f(t)=\frac{1}{7x^2-x+3} \Longleftrightarrow Min_{f(t)}=f(1)=\frac{1}{9}$ với $x\in (0;1]$