290iy4072012

Vậy bất đẳng thức đúng the0 tiêu chuẩn 2 của SOS.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Thiếu rồi bạn à, có trường hợp 1 số bằng 0, 2 số bằng nhau nữa .

Cho $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$ > 0; $x_{i_{1}}$,$x_{i_{2}}$,...,$x_{i_{n}}$ là một hoán vị của $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}}\geq$$\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{3}}}{\sqrt{n}}$

Đơn giản chỉ là :
Áp dụng CS, ta có :
$\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}\ge x_1+x_2+...+x_n \ge \dfrac{\left (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\right )^2}{n}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}}\geq \frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{3}}}{\sqrt{n}}$

Cho biểu thức $P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y+z}$
Với các giá trị nào của số nguyên dương x,y,z thì P đạt giá trị dương nhỏ nhất

Có vẻ như $\dfrac{1}{x+y}$ thì hợp lí hơn

Một cách nữa, biến đổi tương đương, ta cần chứng minh :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right )\ge \dfrac{3}{2}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )$$
Chỉ cần chú ý :
$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\\ \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\ge \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \end{array}\right.$

Với $n$ lẻ thì có một cái ở giữa sẽ $=0$ khi $min$, và lúc đó, ta vẫn có:
$A_{min}=(a_{n}+...+a_{\frac{n+1}{2}+1})-(a_{\frac{n+1}{2}-1}+...+a_{1})$

Lúc đó, dấu "=" xảy ra khi $x=a_{n+1}$ (giả sử có $2n+1$ số) nên kết quả như vậy đâu chính xác