Đến nội dung

290iy4072012

290iy4072012

Đăng ký: 23-07-2012
Offline Đăng nhập: 14-11-2012 - 11:19
-----

#339472 Cho $x_{1},x_{2},..,x_{n}> 0$; $x_{i_{1}}$,$x_{i...

Gửi bởi 290iy4072012 trong 24-07-2012 - 01:30

Cho $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$ > 0; $x_{i_{1}}$,$x_{i_{2}}$,...,$x_{i_{n}}$ là một hoán vị của $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}}\geq$$\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{3}}}{\sqrt{n}}$

Đơn giản chỉ là :
Áp dụng CS, ta có :
$\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}\ge x_1+x_2+...+x_n \ge \dfrac{\left (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\right )^2}{n}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{x_{i_{1}}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{i_{2}}}+...+\frac{x_{n}^{2}}{x_{i_{n}}}}\geq \frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{3}}}{\sqrt{n}}$


#339409 CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}...

Gửi bởi 290iy4072012 trong 23-07-2012 - 22:02

Một cách nữa, biến đổi tương đương, ta cần chứng minh :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right )\ge \dfrac{3}{2}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )$$
Chỉ cần chú ý :
$\left\{\begin{array}{1}\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\\ \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\ge \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \end{array}\right.$


#339381 BĐT: (x-a).(x-b).(x-c).(x-d) + m2 $\geq 0$.

Gửi bởi 290iy4072012 trong 23-07-2012 - 21:30

Lời giải :
Vì $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một CSC nên lúc đó :
$\left\{\begin{array}{1}a+c=2b \\b+d=2c \end{array}\right.$
Rút được :$a=2b-c ;d=2c-b $
Lúc đó $ab-bc=(2b-c)(2c-b)-bc=-2(b-c)^2$ nên suy ra $m \ge (b-c)^2$
Nên $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m^2 \ge (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+(b-c)^4$
Xét tiếp $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(a+d)+ad\right ]=\left [x^2-x(b+c)+bc\right ]\left [x^2-x(b+c)+ad\right ]$
Đặt $y=x^2-x(b+c)$ ta cần chứng minh :
$$(y+bc)(y+ad)+(b-c)^2 \ge 0\Leftrightarrow y^2+y(ad+bc)+abcd+(b-c)^4 \ge 0$$
Ta lại có $\Delta =(ad+bc)^2 -4abcd-4(b-c)^4 =(ad-bc)^2 -4(b-c)^4=0$
Suy ra ĐPCM.