Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Mrnhan

Đăng ký: 24-07-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#683353 Tính đạo hàm Fréchet của: $f(x)=||Ax-b||^2$

Gửi bởi Mrnhan trong 06-06-2017 - 13:38

Em có biết một công thức liên quan đến tính đạo hàm của tích ma trận (product rules) 

$$\nabla \left( U^TV\right)=\nabla(U)V+\nabla(V)U$$

 

Bài toán ban đầu tương đương với 

$$f(x)=\left\|Ax-b\right\|^2=(Ax-b)^T(Ax-b)\Rightarrow f'(x)=2A^T(Ax-b)$$

 

Vì nếu $C= (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ và $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$

 

$$\Rightarrow g(x)=C^Tx=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n$$

$$\Rightarrow \nabla (g(x))=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}=C$$

Vậy $$\nabla(Ax-b)=A^T$$




#667600 $(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left|...

Gửi bởi Mrnhan trong 08-01-2017 - 11:28

Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\int_{\Omega}uvdx$$




#633861 Tìm nghiệm của $\frac{\partial^2u }{\parti...

Gửi bởi Mrnhan trong 18-05-2016 - 11:38

Tìm nghiệm của bài toán:
$$\frac{\partial^2u }{\partial t^2}=\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$
thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix}u(x, y, z, 0)=\varphi(r)\\\frac{\partial u }{\partial t}(x, y, z,0)=\psi(r)\end{matrix}\right. , r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$



#613646 Tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx...

Gửi bởi Mrnhan trong 08-02-2016 - 15:00

Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$

 

Bài giải:

 

Ta có

 

$$t=x^3\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{3t}dt\Rightarrow 3I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx$$ 

 

$$3I+\frac{\pi^2}{12}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{2x^2}d(x^2)=\frac{3I}{2}$$

 

$$\Rightarrow I=-\frac{\pi^2}{18}$$

 

Cách tìm tích phân đầu




#608895 Có thể có bao nhiêu nhóm khác nhau

Gửi bởi Mrnhan trong 14-01-2016 - 11:49

Bài toán:

Chọn 8 học sinh trong tổng số 20 học sinh để nhận học bổng từ 2 nhà tài trợ. Biết rằng những học sinh cùng 1 nhà tài trợ sẽ làm nhóm cùng nhau và mỗi học sinh có thể nhận 2 học bổng (làm việc trong 2 nhóm). Hỏi có thể có bao nhiêu nhóm khác nhau.




#604345 Tìm cực trị $w=x^2+4y^2-3xy+11x-34y+a$

Gửi bởi Mrnhan trong 21-12-2015 - 11:45

 

Câu 1: Tìm cực trị 
$w=x^2+4y^2-3xy+11x-34y+a$
Câu 2: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hãy tìm cực trị
$w=axy$
với $x+ay=10$
 
Spoiler

 

 

Lý thuyệt (học cũng được 2 năm rồi :( chả nhớ lắm )

 

Ta có $$\left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}\\B=w''_{xy}\\C=w''_{y^2}\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC$$

 

Và điểm dừng $M(x_0, y_0)$

$D>0$ thì không có cực trị tại $M.$

$D<0$ thì có cực trị, xét dấu của $A$

$D=0$ thì chưa có kết luận(có thể có thể ko) (chả nhớ xét kiểu gì :D )

 

Bài 1.

 

Tìm điểm dừng

$$\left\{\begin{matrix} w'_x=2x-3y+11=0\\w'_y=8y-3x-34=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\y=5\end{matrix}\right.$$

 

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}=2\\B=w''_{xy}=-3\\C=w''_{y^2}=8\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC=-7, \, A=2>0$$

 

Nên hàm đã cho đạt cực tiểu tại $(2, 5)$ và không có cực đại.

 

Bài 2.

 

Lý thuyết: Tìm cực trị của hàm $f=f(x, y)$ thỏa mãn $g(x, y)=0$. Xét hàm Lagrange

$$F=F(x, y, \lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

 

Tìm điểm dừng:

$$\left\{\begin{matrix}F'_x=ay+\lambda=0\\F'_y=ax+a\lambda=0\\F'_\lambda=x+ay-10=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\neq 0\\x=5\\y=-\frac{5}{a}\\\lambda=-5 \end{matrix} \right.$$

 

$$\Rightarrow \Delta=-\begin{vmatrix} 0&&g'_x&&g'_y\\g'_x&&F''_{x^2}&&F''_{xy}\\g'_y&&F''_{xy}&&F''_{y^2}\end{vmatrix}=a^4$$

 

Hàm đã cho có cực tiểu tại $\left ( 5,\,\frac{5}{a} \right )$.

 

Có tham khảo tại đây.




#603724 Tổng kết 5 năm hoạt động của Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán...

Gửi bởi Mrnhan trong 18-12-2015 - 11:02

Có thành viên nào của VMF tham gia cái này không? 

Đến gặp mặt :D (chụp ảnh cũng vui)

File gửi kèm  maths.jpg   102.09K   123 Số lần tải




#602724 Tìm các hệ số của $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + .....

Gửi bởi Mrnhan trong 12-12-2015 - 08:55

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$

 

 

Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$

 

Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$

 

$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$

 

Ta cần tìm các  hệ số của pt (dựa vào giả thiết):

$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$

$$b_{n+2}=t_nb_n$$

 

Theo giả thiết, ta có

 

$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$

$$....$$

 
Đoán: $k_n = 2n+3, \,\, t_{n}=k_{n-1}+t_{n-1}=t_{n-1}+2n+1, t_0=1$ (quy nạp lại để chứng minh :D )
 
Dễ dàng suy ra $$t_{n}=(n+1)^2\to b_{n+2}=(n+1)^2b_n,\,\, b_0=0, \,\,b_1=1$$
 
*************************************
Làm tiếp:
 
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b_{2n}=0\\b_1=1\\b_{2n+1}=4n^2b_{2n-1}=...=4^n(n!)^2b_1=4^n(n!)^2\end{matrix}\right.$$
 
$$\Rightarrow a_n=\frac{b_{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$$
 
Giải phương trình:
 
$$(1-x^2)y'-xy=1\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}y'-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
$$\left ( y\sqrt{1-x^2} \right )'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow y=\frac{\arcsin(x)+C}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
So sánh kết quả với khai triển: wolframalpha



#593418 $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}...

Gửi bởi Mrnhan trong 12-10-2015 - 12:56

Mình xin nhờ các anh, chị, các bạn hướng dẫn hộ mình bài này.

Chứng minh dãy số ${\left\{ {{a_n}} \right\}_n}$ thỏa mãn $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| < {\left( {\frac{{2014}}{{2015}}} \right)^n},\forall n \in {N^*}$ là dãy Cauchy.

Mình xin cám ơn và chúc mọi người một đêm thật ngon giấc. :)

 

 

$\forall \epsilon >0 ,\,\forall q, p \in \mathbb{N},\, p>q> \left \lceil \frac{2015}{2014}\ln\frac{\epsilon }{2015} \right \rceil$, ta có

 

$$\left | a_p-a_q \right |\leq \left | a_p-a_{p-1} \right |+...+\left | a_{q+1}-a_q \right |<\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-1}+...+\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q $$

 

$$= \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q\left [ \left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q-1}+...+1 \right ]=\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q \times \frac{1-\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q}}{1-\frac{2014}{2015}}<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q$$

 

$$\Rightarrow \left | a_p-a_q \right |<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q < \epsilon,\,\, \boxed{\text{đpcm}}$$




#582205 Tính $\int_{0}^{+\infty }\frac{x...

Gửi bởi Mrnhan trong 16-08-2015 - 06:43

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

Ta có

 

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx$$

 

$$=\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}+\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}$$

 

$$=\pi i \left ( \frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )+\pi i\left ( -\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )=\frac{\pi}{2}$$




#569625 THƯ MỜI HỌP MẶT 5/7/2015 tại Tp. Hồ Chí Minh

Gửi bởi Mrnhan trong 03-07-2015 - 11:10

Khi nào mới tổ chức ở Hà Nội thế BQT :)




#568599 $ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x} $

Gửi bởi Mrnhan trong 28-06-2015 - 07:20

 

Giải bất phương trình:

$ \sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x} $

 

 

$$\sqrt[3]{25x(2x^2+9)} \geq 4x+\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow x\left ( \sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )}-4-\frac{3}{x^2} \right )\geq 0$$

 

$$\Leftrightarrow \frac{-x(\frac{3}{x^2}-1)^2(\frac{3}{x^2}+14)}{\left ( \sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )} \right )^2-\left ( 4+\frac{3}{x^2} \right )\sqrt[3]{25\left ( 2+\frac{9}{x^2} \right )} +\left ( 4+\frac{3}{x^2} \right )^2 }\geq 0$$

 

$$\Leftrightarrow x < 0$$

 

Lớn mặt rồi làm mấy này thế Trang tròn :) Ở YHN cũng học toán này à??




#567566 Xin tài liệu Học Máy, TTNT

Gửi bởi Mrnhan trong 23-06-2015 - 07:14

Ai có tài liệu Học Máy (Machine learning) hoặc Trí Tuệ Nhân Tạo (AI) bằng Tiếng Việt không, dốt tiếng anh nên đọc không hiểu :( 


  • Nxb yêu thích


#564787 $\sum_{k=1}^{\infty}arc\tan\left...

Gửi bởi Mrnhan trong 10-06-2015 - 13:46

 
Em nhớ câu 1 là $\arctan\frac{1}{k^2}$, lúc đó làm mãi ko ra :D
 
1. Nhận xét
 
$$\arctan\frac{2}{k^2}=\arctan\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k+1)(k-1)}=\arctan(k+1)-\arctan(k-1)$$
$$S(1)=\sum_{k=1}^{\infty}\arctan\frac{2}{k^2}=\lim_{k\to \infty}\left(-\arctan1+\arctan k + \arctan(k+1)\right)=\frac{3\pi}{4}$$
 
2. Phân kỳ :)
 
 
Tổng quát:
 

 

$$S(a)=\sum_{k=1}^{\infty} \arctan\frac{2a^2}{k^2},\, a>0$$

 

 

Đặt 
 
$$F(a)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\arctan\frac{2a^2}{k^2}=2S(a)+\frac{\pi}{2}$$
 
$$\Rightarrow F'(a)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{4ak^2}{k^4+4a^4}$$
 
$$=-\pi Res\left\{\frac{4ak^2\cot(\pi k)}{k^4+a^4}, k=a(i+1)\right\}-\pi Res\left\{\frac{4ak^2\cot(\pi k)}{k^4+a^4}, k=a(i-1)\right\}$$
 
$$=-\pi \left(\frac{\cot\left(\pi a(i+1)\right)}{i+1}+\frac{\cot\left(\pi a(i-1)\right)}{i-1}\right)$$
 
$$\Rightarrow F(a)=-\left(\frac{\ln\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{(i+1)^2}+\frac{\ln\sin\left(\pi a(i-1)\right)}{(i-1)^2}\right)+C$$
 
$$=\frac{i}{2}\ln\frac{\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{\sin\left(\pi a(i-1)\right)}+C$$
 
$$\Rightarrow F(1)=C=2\pi$$
 
$$\Rightarrow S(a)=\frac{i}{4}\ln\frac{\sin\left(\pi a(i+1)\right)}{\sin\left(\pi a(i-1)\right)}+\frac{3\pi}{4}$$
 
 



#563158 Tính $\int_{0}^{+\infty }\frac{l...

Gửi bởi Mrnhan trong 03-06-2015 - 06:33

Tính

                                            $\int_{0}^{+\infty }\frac{lnxdx}{1-x^{2}}$

 

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{1-x^2}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1-x^2}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{1-x^2}dx$$
$$=\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1-x^2}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1-x^2}dx$$
$$=2\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1-x^2}dx$$
$$=\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1-x}+\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x}dd$$