Đến nội dung

Mrnhan

Mrnhan

Đăng ký: 24-07-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

#562431 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^...

Gửi bởi Mrnhan trong 30-05-2015 - 13:59

Có người nhờ làm, nên giải ở đây vậy :)

 

Tính tổng của chuỗi

 

$$S=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-2)^n}{7^n(4n-1)} \left(\frac{2x+1}{2x-4}\right)^n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{4n-1}\left(\frac{2x+1}{7(2-x)}\right)^n \,\,(*)$$
 
Điều kiện chuỗi hội tụ  là $-7\leq \frac{2x+1}{2-x}<7$
 
* Nếu $0\leq \frac{2x+1}{2-x}<7\to t^4=\frac{2x+1}{7(2-x)}$
 
$$(*)\Rightarrow S(t)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{t^{4n}}{4n-1}\Rightarrow \frac{S(t)}{t}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{t^{4n-1}}{4n-1}$$
$$\left(\frac{S(t)}{t}\right)'=\sum_{n=2}^{\infty}t^{4n-2}=\frac{t^6}{1-t^4}\Rightarrow\int_{0}^{t} \left(\frac{S(\tau)}{\tau}\right)'d\tau=\int_{0}^{t}\frac{\tau^6}{1-\tau^4}d\tau$$
$$\frac{S(t)}{t}=\frac{1}{12}\left ( -4t^3+3\ln\frac{1+t}{1-t}-6\arctan t \right )\Rightarrow S(t)=\frac{t}{12}\left ( -4t^3+3\ln\frac{1+t}{1-t}-6\arctan t \right )$$
 
Check lại đáp án.
 
* Nếu $-7\leq \frac{2x+1}{2-x}<0\to t^4=-\frac{2x+1}{7(2-x)}$
 
$$(*)\Rightarrow S(t)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^nt^{4n}}{4n-1} \Rightarrow \frac{S(t)}{t}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^nt^{4n-1}}{4n-1}$$
$$\left(\frac{S(t)}{t}\right)'=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^nt^{4n-2}=\frac{t^6}{1+t^4}\Rightarrow\int_{0}^{t} \left(\frac{S(\tau)}{\tau}\right)'d\tau=\int_{0}^{t}\frac{\tau^6}{1+\tau^4}d\tau$$
$$\frac{S(t)}{t}=\frac{1}{24}\left ( 8t^3+3\sqrt{2}\ln\frac{1+\sqrt{2}t+t^2}{1-\sqrt{2}t+t^2}+6\sqrt{2}\arctan\frac{\sqrt{2}t}{t^2-1} \right )$$
$$\Rightarrow S(t)=\frac{t}{24}\left ( 8t^3+3\sqrt{2}\ln\frac{1+\sqrt{2}t+t^2}{1-\sqrt{2}t+t^2}+6\sqrt{2}\arctan\frac{\sqrt{2}t}{t^2-1} \right )$$
 
Check lại đáp án.



#562078 Chứng minh $n\log n$ là $O(\log n!)$.

Gửi bởi Mrnhan trong 28-05-2015 - 12:09

Chứng minh $n\log n$ là $O(\log n!)$.

 

Lời giải.

 

$$\log\left ( n! \right )=\sum_{i=1}^{n}\log (i)>\sum_{i=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}^{n}\log(i)>\sum_{i=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1}^{n}\log\left(\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + 1\right)$$

 

$$=\left ( n-\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right )\log\left ( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1 \right )>\frac{n}{2}\log\left ( \frac{n}{2} \right )\geq\frac{n}{4}\log(n), \, \forall n \geq 4$$

 

Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh :)




#561501 a) tìm tỉ lệ sinh viên có thể hoàn thành bài thi trong khoảng tgian không quá...

Gửi bởi Mrnhan trong 25-05-2015 - 13:48

1)Thời gian hoàn thành bài thi là ĐLNN phân phối chuẩn với kì vọng là 90phút và độ lệch chuẩn là 10 phút
a) tìm tỉ lệ sinh viên có thể hoàn thành bài thi trong khoảng tgian không quá 80 phút
b) cần phải quy định thời gian tối thiểu là bao nhiêu để ít nhất 95% sinh viên có thể hoàn thành bài thi

2) trong 100 xí nghiệp được điều tra, có 70 xí nghiệp nộp thuế đúng thời hạn. Nếu lấy mẫu trên để ước lượng tỉ lệ xí nghiệp nộp thuế đúng thời hạn với độ tin cậy 95% thì sai số gặp phải là bao nhiêu?

 

Lời giải:

 

Bài 1:

 

Gọi $X$ là thời gian hoàn thành bài thi của sinh viên. Theo giả thiết thì $X\sim N\left ( 90;10^2 \right )$.

 

a. Tỷ lệ sinh viên hoàn thành bài thi trong khoảng thời gian không quá $80$ phút là

 

$$P\left ( X<80 \right )=0.5+\phi \left ( \frac{80-90}{10} \right )=0.5-\phi(1)=0.158655$$

 

b. Gọi $t$ là thời gian tối thiểu cần phải quy định để có $95 \text{%}$ sinh viên có thể hoàn thành bài thi

 

Khi đó ta có:

 

$P\left ( X<t \right )=0.5+\phi \left ( \frac{t-90}{10} \right )=0.95\Rightarrow \frac{t-90}{10}=1.64485\Rightarrow t=111.4485$




#559951 $\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n}...

Gửi bởi Mrnhan trong 17-05-2015 - 10:17

Chứng minh:

\[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^3}}\]

với 0 < a < 1 và $C_{2n}^{n}$ là tổ hợp chập $n$ của $2n$.

 

Lời giải.

 

Ta có nhận xét sau:

 

$$\Gamma(n+\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-x}dx=\frac{(2n!)}{2^{2n}n!\sqrt{\pi}}$$

 

$$\Rightarrow \frac{C_{2n}^{n}a^{3n}}{2^{2n}}=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}}{\sqrt{\pi}}\frac{(xa^3)^n}{n!}dx$$

 

$$\Rightarrow\sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_{2n}^{n}a^{3n}}{2^{2n}}=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xa^3)^n}{n!}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x(1-a^3)}dx$$

 

$$=\frac{1}{\sqrt{\pi(1-a^3)}}\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi(1-a^3)}}=\frac{1}{\sqrt{1-a^3}}$$

 

:D  :D :D




#543316 Đề thi Olympic Giải Tích Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015

Gửi bởi Mrnhan trong 07-02-2015 - 16:21

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$

 

Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}$$

 

Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x$$

 

Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$

 

Giải phương trình $f_n(x)=0$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0$$

 

Tìm $f(x)$

 

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$




#541946 Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH sư phạm HN 2015

Gửi bởi Mrnhan trong 26-01-2015 - 17:53

 

Bài 1:

Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới

$$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$$

 

Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n \ge 1}$

 

 

 Giải:

 

Ta có $a_{n+1}=f(a_n)=2a_n-a a_n^2$

 

Xét hàm số $f(x)=2x-ax^2\Rightarrow \max f(x)=\frac{1}{a}$

 

Do đó $a_n\leq \frac{1}{a} $

 

Từ $a_1>0$ suy ra $0<a_n \le \frac{1}{a} \;\; (*)$

 

Theo đề ta có $a_{n+1}=a_n(2-aa_n)\Rightarrow a_{n+1}-a_n=a_{n}\left ( 1-a a_n \right )>0\Rightarrow a_{n+1}>a_n \,\, (**)$

 

Từ $(*)(**)$ ta suy ra dãy $\left ( a_n \right )_{n\geq 1}$ hội tụ.

 

Giả sử $\lim_{n\to \infty} a_n=x\Rightarrow x=x(2x-ax)\Leftrightarrow x=\frac{1}{a}$

 

Vậy $\lim_{x\to \infty }a_n=\frac{1}{a}$




#538137 Chứng minh rằng X/Y là Banach.

Gửi bởi Mrnhan trong 15-12-2014 - 21:17

1. Cho X là không gian Banach và Y là một không gian con đóng của X. Chứng minh rằng X/Y là Banach.
2. M là không gian con của không gian định chuẩn X sao cho M và X/M là Banach. Chứng minh rằng X là Banach.


#532985 Tính tổng của chuỗi $\sum_{1}^{\infty}...

Gửi bởi Mrnhan trong 12-11-2014 - 21:31

Tính tổng của chuỗi $\sum_{1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}$

 

Cần đưa dãy về dạng này $$\frac{2n-1}{2^n}=a\left ( \frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n} \right )+\frac{b}{2^n}$$

 

 Đồng nhất, ta tìm được $a=2,\, b=3$

 

Vậy $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n} \right )+3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}=3$$




#532641 Tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow \frac{\p...

Gửi bởi Mrnhan trong 10-11-2014 - 05:43

Bài này lim không tồn tại xem chứng minh ở đây.

 

Bác nhầm rồi :) 

 

Kết quả bài giới hạn này ra bằng không :D




#531913 Tính 1, $\large \lim (x\rightarrow 1) \frac{(x...

Gửi bởi Mrnhan trong 05-11-2014 - 08:20

Tính $1,\, \lim_{x\to 1}\frac{(x ^{x}-1)}{x\ln x}$

$2,\, \lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}$

 

Câu 1. Cái này cho $x\to0$ mới hay, chứ cho $x\to$ thì đơn giản hơn nhiều.

 

Đầu tiên tính $$\lim_{x\to 0} x\ln x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x =0$$

 

Đặt $t=x\ln x$ thì 

 

$$\lim_{x\to 1}\frac{(x ^{x}-1)}{x\ln x}=\lim_{x\to 1}\frac{(e ^{x\ln x}-1)}{x\ln x}=\lim_{t\to 0} \frac{e^t-1}{t}=1$$

 

Câu 2. 

 

$$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}=\lim_{x\to 0}\left [ \left ( 1+\frac{\tan x-\sin x}{1+\sin } \right )^{\frac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}} \right ]^{\frac{(\tan x-\sin x)}{\sin^3x(1+\sin x)}}=\lim_{x\to 0}e^{\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x(1+\sin x)}}$$

 

Ta chỉ cần tính $$\lim_{x\to 0}{\frac{1}{1+\sin x}}=1$$

 

$$\lim_{x\to 0}{\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}}=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}{3\sin^2x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3x}{3\left ( 1-\cos^2x \right )\cos^3x}=\frac{1+\cos x+\cos^2x}{3(1+\cos x)\cos^3x}=\frac{1}{2}$$

 

Vậy $$\lim_{x\to 0}\left ( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right )^{\frac{1}{\sin ^{3}x}}=\sqrt{e}$$




#531909 Làm sao để phá được lnx khi x-> vô cùng trong tính giới hạn ?

Gửi bởi Mrnhan trong 05-11-2014 - 07:45

2 bài này mình không biết làm thế nào để phá được thằng ln(x-1) ở câu a và lnx ở câu b

a/ $\lim_{x \to 1}lnx.ln(x-1)$ Đáp số là 0

b/ $\lim_{x \to 0}(x+1)^{lnx}$ Đáp số là 1

 

Thực ra 2 cây này giống nhau cả, phá làm gì?

 

Câu 1 thì đặt $t=x-1$, ta được $$\lim_{x\to 1}\ln x\ln(x-1)=\lim_{t\to 0} \ln(1+t)\ln t=\lim_{t\to 0} \frac{\ln t}{\frac{1}{\ln (1+t)}}=\lim_{t\to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{-1}{(1+t)\ln^2(1+t)}}=\lim_{t\to 0} \frac{-(1+t)\ln^2(1+t)}{t}=0$$

 

Câu 2 thì $\left ( 1+x \right )^{\ln x}=e^{\ln x \ln(1+x)}\to e^0=1$




#531645 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x^2...

Gửi bởi Mrnhan trong 03-11-2014 - 08:47

Tính 

$1. \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x^2} \cos^5 x-1}{x^2}$

 

$2. \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{1+x^2}+2x)^{\frac{7}{5}}-(\sqrt[3]{1+x^2}-x)^{\frac{7}{5}}}{x}$

P/s: dùng đại lượng $VCB$.

 

1. Ta có

 

$$e^{3x^2}\sim 1+3x^2$$

 

$$\cos^5 x \sim \left ( 1-\frac{x^2}{2} \right )^5\sim 1-\frac{5x^2}{2}$$

 

 $$\Rightarrow e^{3x^2}\cos^5x-1\sim \left ( 1+3x^2 \right )\left ( 1-\frac{5x^2}{2} \right )-1\sim\frac{x^2}{2}$$

 

Vậy  $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3x^2} \cos^5 x-1}{x^2}=\frac{1}{2}$$

 

2. Tương tự, ta cũng có

 

$$\left ( \sqrt[3]{1+x^2}+2x \right )^{\frac{7}{5}}\sim \left ( 1+2x \right )^{\frac{7}{5}}\sim 1+\frac{14x}{5}$$

 

$$\left ( \sqrt[3]{1+x^2}-x \right )^{\frac{7}{5}}\sim \left ( 1-x \right )^{\frac{7}{5}}\sim 1-\frac{7x}{5}$$

 

$$\left ( \sqrt[3]{1+x^2}+2x \right )^{\frac{7}{5}}-\left ( \sqrt[3]{1+x^2}-x \right )^{\frac{7}{5}}\sim \left ( 1+\frac{14x}{5} \right )-\left ( 1-\frac{7x}{5} \right )=\frac{21x}{5}$$

 

Vậy $$\lim_{x\to 0}\frac{\left ( \sqrt[3]{1+x^2}+2x \right )^{\frac{7}{5}}-\left ( \sqrt[3]{1+x^2}-x \right )^{\frac{7}{5}}}{x}=\frac{21}{5}$$




#530778 Tính $1+ab+...+a^{n}b^{n}+... $theo M và N

Gửi bởi Mrnhan trong 27-10-2014 - 14:56

Biết $1+a+...+a^{n}+...=M (\left | a \right |< 1),1+b+...+b^{n}+...=N (\left | b \right |<1)$

Tính $1+ab+...+a^{n}b^{n}+... $ theo M và N.

 

@note: Chỉ bỏ những công thức trong 2 dấu dola, còn văn bản thì bỏ ngoài :)

 

Ta có 3 chuỗi đều hội tụ và 

 

$$M=1+a+...a^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}a^n=\frac{1}{1-a}\Rightarrow a=1-\frac{1}{M}$$

 

$$N=1+b+...b^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}b^n=\frac{1}{1-b}\Rightarrow b=1-\frac{1}{N}$$

 

$$S=1+ab+...(ab)^{n}+...=\sum_{n=1}^{\infty}(ab)^n=\frac{1}{1-ab}=\frac{1}{1-\left ( 1- \frac{1}{M}\right )\left ( 1- \frac{1}{N}\right )}=\frac{MN}{M+N-1}$$




#530547 Tính $\lim_{x\to0}({\frac{e^{sin...

Gửi bởi Mrnhan trong 26-10-2014 - 04:02

Tính giới hạn bằng phương pháp L'hospital, VCB:
$\lim_{x\to0}({\frac{e^{sinx}-1}{x}})^{ln(x)}$
Thanks trước !

 

Cái này chỉ áp dụng công thức này thôi( có thể chứng minh bằng $L'hopital$): $$\lim_{x\to 0} x^\alpha \ln x=0,\, \alpha>0$$

 

Ta có $$\frac{e^{\sin x}-1}{x}\sim 1+\frac{x}{2}$$

 

$$\ln\left ( 1+\frac{x}{2} \right )\sim \frac{x}{2}$$

 

$$\left ( \frac{e^{\sin x}-1}{x} \right )^{\ln x}=\exp\left \{ \ln\frac{e^{\sin x}-1}{x} \ln x\right \}\sim \exp\left \{ \ln\left ( 1+\frac{x}{2} \right )\ln x \right \}\sim \exp\left \{ \frac{x}{2}\ln x \right \}\to 1$$




#528347 Tính $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+x^...

Gửi bởi Mrnhan trong 11-10-2014 - 22:20

Tính các giới hạn sau:

a. $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+x^{2}+x^3+...+x^{n}-n}{x-1}$

 

 

b. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x^{n}-a^{n})-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^{2}}$

 

Câu b thay $a=1$ và $n\to n+1$ thành câu a.

 

Giới hạn này thể dùng $L'Hospital$

 

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x^{n}-a^{n})-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a} \frac{n\left ( x^{n-1}-a^{n-1} \right )}{2(x-a)}=\lim_{x\to a}\frac{n(n-1)}{2}$