Mrnhan

cho x,y,z là các số dương và $xyz\geq 1$. CMR:
$\sum \frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

bài này trong sách "sáng tạo bất đẳng thức", trích:

không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c\leq d$
xét
$f\left ( a,b,c,d \right )=ac\left ( b+d \right )+bd\left ( a+c-\frac{176}{27}ac \right )$
từ giả thiết, suy ra: $a+c\leq \frac{1}{2}\left ( a+b+c+d \right )$, do đó:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}\geq 8\geq \frac{176}{27}$
$\Rightarrow f\left ( a,b,c,d \right )\leq f\left ( a,\frac{b+d}{2},c,\frac{b+d}{2} \right )$
ta chỉ xét các biến đổi $\bigtriangleup$ với (b,c,d) và theo kết quả đã chứng minh
$f\left ( a,b,c,d \right )\leq f\left ( a,t,t,t \right ) với t=\frac{b+c+d}{3}$
cuối cùng ta chỉ cần chứng minh với a+3t=1 thì
$3at^{2}+t^{3}\leq \frac{1}{27}+\frac{176}{27}at^{3}$
chứng minh điều này rất đơn giản, khi thay a=3t-1 ta có ngay BĐT hiển nhiên sau
$\left ( 1-3t \right )\left ( 4t-1 \right )^{2}\left ( 11t+1 \right )\geq 0$
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1 hoặc a=b=c=$\frac{1}{3}$ và d=0 hoặc các hoán vị tương ứng

hoangtrong2305: Bạn đặt công thức $Latex$ trong dấu $$ thôi nhé, chứ không phải đặt trong cả nguyên văn bản, bạn click vào chữ "sửa" để tiện theo dõi cách đặt.

áp dụng bổ đề:$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( 1+y \right )^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy} \left ( \forall x,y> 0 \right )$
bổ đề này cm bằng cách biến đổi tương đương về BĐT hiển nhiên:$xy\left ( x-y \right )^{2}+\left ( 1-xy \right )^{2}\geq 0$
vậy ta được:
$\sum \frac{1}{\left ( 1+x \right )^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+zt}=\frac{1}{1+\frac{1}{zt}}+\frac{1}{1+zt}=1 (đpcm))$
dấu "=" xảy ra khi và chi khi x=y=z=t=1