mt123

I.Lý thuyết cơ bản cần nhớ

* Khoàng cách giữa hai điểm $M(x_1,y_1)$ và $N(x_2,y_2)$ là

$$MN = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm $M(x_0,y_0)$ và đường thẳng $Ax+By+C=0 \ \ (\Delta)$. Khi đó:

$$d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

II. Một số ví dụ có giải
Dạng 1: Các bài toán về khoảng cách thoả mãn một điều kiện cho trước
VD1: Cho hàm số $y= f(x) = \frac{x^3-3}{x+2}, \ \ \left ( C \right ) $. Tìm trên $\left ( C \right )$ những điểm cách đều 2 trục toạ độ.

Giải

Ta thấy những điểm cách đều hai trục toạ độ chính là tất cả các điểm nầm trên đường thẩng $y= \pm x$.
Vậy các điểm phải tìm chính là giao điểm của đường thẳng $y= \pm x$ và $\left ( C \right )$.
Hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình:

\[\left[ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = x\\
\frac{{{x^2} - 3}}{{x + 2}} = - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
2{x^2} + 2x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\\
x = - 1 \pm \sqrt 7
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( \text{thỏa điểu kiện} \right)\]
với $x \ne - 2$.

Vậy trên $\left( C \right)$ có 3 điểm mà từ đó khoảng cách đến hai trục bằng nhau là:
\[{M_1}\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right),\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 7 ; - 1 - \sqrt 7 } \right),\,\,{M_3}\left( { - 1 + \sqrt 7 ; - 1 + \sqrt 7 } \right)\]

Ví dụ 2: Cho hàm số $\left( C \right):\,\,y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}}$. Tìm tất cả các cặp điểm ${M_1},{M_2}$ nằm trên $\left( C \right)$ và đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.
Giải
Gọi $(D)$ là phương trình đường thẳng đi qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và có hệ số góc $k$. Khi đó phương trình của $(d)$ là: $y=kx+ \dfrac{5}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $(D)$ là:
\[\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x - 1}} = kx + \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {k - 1} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{2} - k} \right)x - \frac{9}{2} = 0
\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\]
Để $(D)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm ${M_1},{M_2}$ đối xứng với nhau qua $I\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ thì trước hết phương trình hai của hệ $(I)$ phải có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho:
\[\frac{S}{2} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} - k = 0 \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}\]
Với $k = \frac{3}{2}$ thì phương trình hai của $(I)$ trở thành: ${x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Vậy ${M_1}\left( { - 3; - 2} \right),{M_2}\left( {3;7} \right)$ là hai điểm phải tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}\,\,\,\,\left( C \right)$. Tìm $M \in \left( C \right)$ để khoảng cách tử $M$ đến $Ox$ gấp hai lần khoảng cách từ $M$ đến $Oy$.

Giải.

Giả sử $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Khoảng cách từ $M(x;y)$ đến hai trục là:

- Trục $Ox$: $\left| y \right| = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}} = {d_1}$

- Trục $Oy$: $\left| x \right| = {d_2}$

Ta có: ${d_1} = 2{d_2} \Leftrightarrow \left| y \right| = 2\left| x \right|$. Xét hai trường hợp sau:

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2x\\
{x^2} + x - 15 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 - \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 - \sqrt {62}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - 1 + \sqrt {62} }}{2}\\
y = - 1 + \sqrt {62}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

$ \bullet \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
- 2x = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 2x\\
3{x^2} + 11x + 15 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)$

Ta thấy phương trình hai của $(I)$ có $\Delta < 0$. Suy ra hệ $(I)$ vô nghiệm.

Vậy các điểm $M$ phải tìm là: ${M_1}\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {61} }}{2}; - 1 - \sqrt {61} } \right),\,{M_2}\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {61} }}{2}; - 1 + \sqrt {61} } \right)$.