Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


MrS

Đăng ký: 25-07-2012
Offline Đăng nhập: 16-01-2018 - 13:18
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

20-10-2016 - 11:11

Tiếp theo:

Bài 105: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}$.

$\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \sum \frac{2b^2}{\sqrt{4b(2a+b+c)}}\geq \sum \frac{4b^2}{2a+5b+c}\geq \frac{4(a +b+c)^2}{8(a+b+c)}=\frac{3}{2}$


Trong chủ đề: Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

16-10-2016 - 03:31

Tiếp theo: 

Bài 98: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(\frac{a}{b}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(\frac{b}{c}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc})(\frac{c}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{ca})$

 

Bài 98: Đổi: $(\frac{1}{a}-1,\frac{1}{b}-1,\frac{1}{c}-1)\rightarrow (x,y,z)$

Khi đó $P=(x^2+x+1)(y^2+y+1)(z^2+z+1)$ với $x+y+z=0$

Thế $z=-x-y$ vào P ta sẽ CM: $(x^2+x+1)(y^2+y+1)((x+y)^2-x-y+1)-1\geq 0$ (*)

Đặt $x+y=S; xy =P$ BĐT trên trở thành: $f(P)=(S^2-S+1)P^2+(S-1)(S^2-S+1)P+S^4+S^2\geq 0$

Không mất tổng quá, giả sử $P=xy\geq 0$ lại có $z>-1\Rightarrow S=x+y=-z<1$ và $S^2\geq 4P$

Ta có: $f"(P)=2(S^2-S+1)>0\Rightarrow f'(P)\geq f'(0)=(S-1)(S^2-S+1)<0\Rightarrow f(P)\geq f(\frac{S^2}{4})=\frac{S^2}{16}((S^2+\frac{3S}{2})^2+4(S+1)^2+\frac{11S^2}{4}+8)\geq 0$

(*) được CM. Vậy $MinP=1$ tại $a=b=c=1$


Trong chủ đề: Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

16-10-2016 - 01:04

Tiếp theo: 

Bài 97: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\ge 1$.

Bài 97:

Sử dụng Cauchy - Schwarz: $(y+\sqrt{zx}+z)^2\leq (y+z+z)(y+x+z)=(x+y+z)(y+2z)$

Từ đó ta chỉ cần chứng minh: $P=\sum \frac{2x^2+xy}{y+2z}\geq x+y+z$

Theo Cauchy - Schwarz: $P\geq \frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{\sum (y+2z)(2x^2+xy)}=\frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{2(xy+yz+zx)(x+y+z)+3(xy^2+yz^2+zx^2+xyz)-3xyz}=M$

Áp dụng bổ đề quen thuộc: $xy^2+yz^2+zx^2+xyz\leq \frac{4(x+y+z)^3}{27}$

Suy ra: $M\geq \frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{2(xy+yz+zx)(x+y+z)+\frac{4(x+y+z)^3}{9}-3xyz}$

Đưa về dạng $p, q, r$ và chuẩn hóa $p=1$

Ta đi chứng minh: $\frac{(2-3q)^2}{2q+\frac{4}{9}-3r}\geq 1\Leftrightarrow 81q^2-126q+32+27r\geq 0$ (*)

Theo BĐT Schur thì: $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-1}{9}$

Nên $VT(*)\geq (1-3q)(29-27q)\geq 0$ hiển nhiên đúng do $0< q\leq \frac{1}{3}< \frac{29}{27}$

Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi  $x=y=z$


Trong chủ đề: Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

13-10-2016 - 16:39

 

Bài 94: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của: $P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Đổi thành a,c,b thưc thì là bài 3 của IMO 2006 :D 


Trong chủ đề: Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.

12-10-2016 - 18:39

Bài 87: Royal1534 đã cho lời giải đúng. Dưới đây là lời giải bài 88:

Lời giải bài 88:

Ta có: $\sqrt{ab+1}\ge \sqrt{ab+\frac{(a-b)^2}{2}}=|\frac{a+b}{2}|$.

Tương tự ta được: $\sum \sqrt{ab+1}\ge \sum |\frac{a+b}{2}|\ge |a+b+c|\ge a+b+c$.

(Áp dụng: $|x|+|y|+|z|\ge |x+y+z|$).

Tiếp theo:

Bài 91: Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$.

Bài 92: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z\le 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=4x+3y+24z+\frac{19}{x}+\frac{25}{3y}+\frac{8}{3z}$. 

Bài 91: Theo AM - GM:  $(9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq (9+3\sqrt[3]{(xyz)^4})(\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}})\geq \frac{36\sqrt[4]{\sqrt[3]{(xyz)^4}}}{\sqrt[3]{xyz}}= 36$

 

Bài 92: Theo AM - GM: $P=19(4x+\frac{1}{x})+25(3y+\frac{1}{3y})+8(12z+\frac{1}{3z})-72(x+y+z)\geq 76+50+32-72=86.$

$\Rightarrow MinP=86$ tại $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z= \frac{1}{6}$