bibitsubomi 9fxshiftsolve

bài trên mình sai =.=

BĐT cần cm tđ vs

$\frac{a^3+a^2b+a^2c+b^2c}{b+c}+\frac{b^3+b^2a+b^2c+c^2a}{c+a}+\frac{c^3+c^2a+c^2b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$

$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b+c}+\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \frac{2}{3}$

ta có

$\sum a^2+\sum _{cyc}\frac{a^2b}{a+b} \geq \sum a^2+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}=\frac{3}{4}\sum a^2-\frac{1}{4}\sum ab+\frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2+\sum ab}+\frac{\sum a^2+\sum ab}{4}\geq \frac{3}{4}\sum a^2+\frac{1}{4}\sum ab$

đến đây chắc dễ r nhỉ

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn tổng của chúng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2b}{a+b+1}+\frac{b^2c}{b+c+1}+\frac{c^2a}{c+a+1}\leq 1$$

trc hết ta có $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$ (*)

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c+1 và để ý (*) thì ta chỉ cần cm

$\sum _{cyc}\frac{a}{a+b+1}\leq 1$

sau khi quy đồng thì ta lại đc (*)

Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$$\frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c}+\frac{b^{2}+c^{2}a}{c+a}+\frac{c^{2}+a^{2}b}{a+b}\geq \frac{2}{3}$$

nhân cả 2 vế của bđt cần cm với a+b+c ta đc

$\sum a^2+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left [ (\sum a)(\sum a^2)+\sum _{cyc}a^2b+\sum a^3+3abc \right ]\geq 2(\sum a)^3$

$\Leftrightarrow 4\sum a^3\geq \sum _{cyc}ab^2+3abc$

(đúng)

bđt đc cm

$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37}(1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 \\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10
\end{cases}$$
đkxđ: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt[5]{7}-\sqrt[10]{y}\geq 0 & & \\ 1-x^2\geq 0 & & \\ y\geq 0 & & \\ x(1-x)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 \leq x\leq 1 & \\ 0\leq y\leq 7^2.2^{10} & \end{matrix}\right.$

trước hết ta chứng minh

với $0 \leq x\leq 1$ thì $x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$

thật vậy!

áp dụng bđt AM-GM ta có

$9x\sqrt{x^2+1}=6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=\frac{39}{4}x^2+3$

$13x\sqrt{1-x^2}=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}=13-\frac{39}{4}x^2$

do đó $x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})\leq 13-\frac{39}{4}x^2+\frac{39}{4}x^2+3=16$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{9}{4}x^2=x^2+1 & \\ \frac{1}{4}x^2=1-x^2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

suy ra $4\sqrt{y}=912-x(9\sqrt{x^2+1}+13\sqrt{1-x^2})\leq 912-16=896$

$\Rightarrow y\geq 50176=7^2.2^{10}$

kết hợp với đkxđ suy ra $y= 50176$

khi đó, $x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

thay y=50176 vào (1) ta đc $(17-\sqrt{37})z^2=32(17-\sqrt{37})$

$\Rightarrow z^2=32\Rightarrow z=\pm 4\sqrt{2}$

thử lại thấy $(x,y,z)=(\frac{2\sqrt{5}}{5}; 50176;4\sqrt{2})$ là ngiệm của hệ đã cho
________________________

Chú ý viết hoa đầu dòng!
Bài giải: 10
$S=48-(21-20)+3\times 10+0+0=77$

Đề: Giải hệ pt

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$

G:

vì $x+y+z=xyz$ nên đặt $x=cot\frac{A}{2}, y=cot\frac{B}{2}, z=cot\frac{C}{2}$

(với A, B, C là độ lớn các góc A, B, C trong tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c (a, b, c>0))

ta có $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}}=sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}=\frac{sinA}{2}$

tương tự $\frac{y}{y^2+1}=\frac{sinB}{2}$ và $\frac{z}{z^2+1}=\frac{sinC}{2}$

do đó $156sinA=65sinB=60sinC \Leftrightarrow \frac{sinA}{5}=\frac{sinB}{12}=\frac{sinC}{13}$

mà $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$

nên $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}$

$\Rightarrow a^2+b^2=c^2$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông ở C

$\Rightarrow z=cot\frac{C}{2}=1$

do đó $\frac{165x}{x^2+1}=\frac{65y}{y^2+1}=30$

$\frac{165x}{x^2+1}=30 \Leftrightarrow 5x^2-26x+5=0\Leftrightarrow (x-5)(5x-1)=0$

* $x=5 \Rightarrow 5+y+1=5y\Rightarrow y=\frac{3}{2}$

* $x=\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{5}+y+1=\frac{1}{5}y\Rightarrow y=\frac{-3}{2}$

thử lại thấy $y=\frac{3}{2}$ t/m $\frac{65y}{y^2+1}=30$

vậy hệ đã cho có no duy nhất $(x, y, z)=(5;\frac{3}{2};1)$