hoangtrunghieu22101997

Có hay không tồn tại vô số số nguyên tố p thỏa mãn:

i) $p\equiv 1\pmod 4$

ii) $v_2\left(\text{ord}_p (2)\right)=v_2\left(p-1\right) $

Câu 2:

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=a$

Cho $x=1 \Rightarrow P(0)=\dfrac{a}{2}$

Cho $x=-1 \Rightarrow P(-1)=\dfrac{a}{2}$

Đặt $P(x)=\dfrac{a}{2}+x(x+1)R(x)$

Thế vào ban đầu thấy thỏa mãn

 

 

 

Gọi BE; CF là các đường cao
I;J lần lượt đối xứng với F; E qua 2 phân giác ABH và ACH

Ta có: $\hat{FIE}=\hat{FJE}=135-\dfrac{\hat{A}}{4}$
Nên tứ giácEFIJ nội tiếp và nội tiếp đường tròn tâm P

Mặt khác EFBC nội tiếp đường tròn tâm N
Nên $NP \perp EF$ (1)

Gọi O là tâm ĐT ngoại tiếp tam giác ABC
Có : $AO \perp EF ; MN// AO$
Nên $MN \perp EF$ (2)

Từ (1) (2) suy ra $M;N;P$ thẳng hàng

Bài làm

Xét thành phố A bất kỳ

Gọi $S_1$ là tập hợp các thành phố mà có đường đi từ A đến

 

$S_2$ là tập hợp các thành phố mà có đường đi nơi đó đến A

 

$S_1$ là tập hợp các thành phố không có đường nối trực tiếp đến A

Do có 210 thành phố nên $|S_1|+|S_2|+|S_3|=209$

Nhận thấy các thành phố thuộc $S_1 $ không có đường đi trực tiếp với nhau.
Tương tự với $S_2$
Nhưng số đường đi giữa thành phố thuộc $S_1$ với thành phố thuộc $S_2$ nhỏ hơn hoặc bằng $|S_1|.|S_2|$

Số các đường đi giữa các thành phố thuộc tập $S_3$ không quá $|S_3|(|S_1|+|S_2|)$

Như vậy tổng số đường đi lớn nhất là:
$|S_1|+|S_2|+|S_1|.|S_2|+|S_3|(|S_1|+|S_2|)$
$=|S_1|.|S_2|+(|S_3|+1)|S_1|+(|S_3|+1)S_2$
$\le \dfrac{(|S_1|+|S_2|+|S_3|+1)^2}{3}=14700$

Dấu bằng có xảy ra nếu như có 70 thành phố thuộc nhóm I ;70 thành phố thuộc nhóm II ;70 thành phố thuộc nhóm III
Sao cho thành phố nhóm I có đường đến nhóm II ; nhóm II có đường đến nhóm II và nhóm III có đường đến nhóm I

Đề sai kìa Đạt ơi
$$a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n$$

Bài hình nữa
(tam giác CDE)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài làm

$$\boxed{f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$$

+) Thế y bởi 0: $f(x+g(0))=xf(0)+g(0)$
Đặt $g(0)=a$

với $\Delta$ bất kỳ
Thế $(x;y)$ bởi $(x+\Delta +a ; y)$
Ta có: $f(x+a+\Delta+g(y))=(x+a+\Delta) f(y)-yf(x+a+\Delta)+g(x+a+\Delta)$
Thế $(x;y)$ bởi $(x+a ; y)$
Ta có: $f(x+a+g(y))=(x+a)f(y)-yf(x+a)+g(x+a)$

Trừ vế cho vế được:
$\Delta f(0)+g(x+\Delta+g(y))-g(x+g(y))=\Delta f(y)-y(\Delta f(0)+g(x+a+\Delta )-g(x+a))+g(x+\Delta )-g(x)$

Cho $y=0$
Trở thành: $g(x+t+c)-g(x+c)=g(x+t)-g(x)$

Cho $y=1$ và kết hợp với điều trên có:
$g(x+\Delta +g(1))-g(x+g(1))=\Delta (f(1)-f(0))$

Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a(x-a)}{a+1},g(x)=a(x-a) $

Bài toán : Giải phương trình hàm sau:

$$ f\left({x+y+f(y)}\right) = f(x)+ny $$

 

Bài toán : Giải phương trình hàm : (Singapore IMO TST 2008, Problem)

$(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$

 

Bài toán : Giải phương trình hàm: (USA TST 2012)

 

$$f(x+y^2) = f(x) + |yf(y)|$$

 

 

Tài liệu hình học của Hà Vũ Anh

Link download:  http://adf.ly/PD9MS

 

 

sử dụng bất đẳng thức để giải bất phương trình

Link download: http://adf.ly/PCXoU

 

 

BT2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa :
 
$f(x^2+f(y))=xf(x)+y$.

Cho $x=0 \to f(f(y))=y$
Suy ra $f(x)$ là một song ánh
Nên tồn tại duy nhất $a : f(a)=0$
Thay $(x;y)=(a;0) \to f(a^2+f(0))=0$
Mà $o=f(f(0)) \to a^2+f(0)=f(0) \to a=0$
Tức là $f(0)=0$
Thay y=0 $\to f(x^2)=xf(x)$
$\to f(x^2)=f(f(x)).f(x)=f(f(x)^2)$
$\to f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Thế nhưng cái này chỉ đúng với mỗi x chứ không đúng với mọi

Ta sẽ chứng minh mệnh đề trên đúng với mọi x
Giả sử tồn tại $a;b \ne 0$ mà $f(a)=a; f(b)=-b$
Thay vào giả thiết ban đầu ta có:
$f(a^2-b)=a^2+b$
$\to a=0$ hoặc $b=0$
Vô lí
Kết luận $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x \ \forall x \in R$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, lấy $D \in$ cạnh $AC$. Lấy $E$ đối xứng $A$ qua $BD$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $D$ và vuông góc $BC$.Gọi $F$ là giao điểm của $CE$ và $d$. Chứng minh $AF,DE,BC$ đồng quy. 
 

 
Gọi $I=FD \cup GC ; K= BC \cup AE$ 
Ta có:
$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=\widehat{BID}=90^o$
$\to A;B;E;I;D$ cùng thuộc một đường tròn
$\to \widehat{EIK}=\widehat{KIA}(=\widehat{BDA}=\widehat{BDE})$
$\to \dfrac{EK}{KA}=\dfrac{EI}{IA}$

$AF,DE,BC$ đồng quy.
$\Leftrightarrow \dfrac{EK}{KA}.\dfrac{AD}{DC}.\dfrac{CF}{FE}=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{EI}{IA}.\dfrac{IA}{IC}.\dfrac{\sin AID}{\sin BIC}.\dfrac{CI}{IE}.\dfrac{\sin CIF}{\sin FIE}=1$
Luôn đúng
Luôn đúng

Link download: http://www.mediafire...8atfb4g0dhy55pn

 

Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho: 

 

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

là đa thức hằng.

 

Bài làm:

Đặt $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k (*)$

*) Với $x=1 \Rightarrow P(0)=k$

*) Với $x=-1 \to P(-1)=k$

Nên $P(x)-k$ có 2 nghiệm $0;-1$

$\to P(x)=x(x+1)Q(x)+k$

 

Thay vào $(*)$ ta có: 

$(x+1)[(x-1)xQ(x-1)+k]-(x-1)[x(x+1)Q(x)+k]=k$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)[Q(x+1)-Q(x)]=k$

Nên $Q(x+1) \equiv Q(x)$

$\to Q(x) =c$ là hằng số

Vậy $P(x)=cx(x+1)+k$ với c;k là hằng số. $\blacksquare$