Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Stephen Hawking

Đăng ký: 28-07-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

#347883 Cho a,b,c >0. Chứng minh: $\sum \frac{a^{3}...

Gửi bởi Stephen Hawking trong 18-08-2012 - 16:32

Tiếp nhỉ :)
Bài toán 3.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge \sum \dfrac{a+b}{a^2+b^2+1}$$


#341401 $$\left [\dfrac{\prod (a+b)}{32}...

Gửi bởi Stephen Hawking trong 29-07-2012 - 10:19

Bài toán :
Cho $a,b,c, d, e$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left [\dfrac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\right ]^{128} \ge \left (\dfrac{a+b+c+d+e}{5}\right )^{125}(abcde)^{103}$$


#341204 $a+b+c=3$. Tìm max $$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\...

Gửi bởi Stephen Hawking trong 28-07-2012 - 19:17

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Với bài này, có thể sử dụng :
  • $(ab+bc+ca)(a+b+c)=ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a+3abc$
  • $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$



#341176 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi Stephen Hawking trong 28-07-2012 - 18:22

Cho ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}\,\,(n \ge 2)$ là các số dương thỏa mãn:
${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \le k,\,\,(k\, \in {R^*}),\,b \ge 0,\,\,b{n^2} \ge a{k^2}$.
CMR: $a({x_1} + {x_2} + ... + {x_n}) + b\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}}} \right) \ge \frac{{b{n^2} + a{k^2}}}

{k}.$

Đặt ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n}=m$
Áp dụng CS, AM-GM, ta có :
$VT \ge am+\dfrac{bn^2}{m} =am+\dfrac{ak^2}{4m}+\dfrac{bn^2-ak^2}{m} \ge 2ak+\dfrac{bn^2-ak^2}{k} =\dfrac{bn^2+ak^2}{k}$


#341171 CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le...

Gửi bởi Stephen Hawking trong 28-07-2012 - 18:07

CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.

Cách 2.
Biến đổi tương đương, cần chứng minh :
$$2\left [(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x}\right ] \le a^2+b^2+2$$
Sử dụng CS, ta có :
$$(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x} \le \sqrt{(a+b)^2+(ab-1)^2}=\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$2\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}\le a^2+b^2+2$$
$$\Leftrightarrow 4\left (a^2+b^2+a^2b^2+1\right ) \le a^4+b^4+2a^2b^2+4\left (a^2+b^2\right )+4$$
$$\Leftrightarrow \left (a^2-b^2\right )^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng.BĐT đã được chứng minh.:P