Stephen Hawking

Bài toán :
Cho $a,b,c, d, e$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left [\dfrac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\right ]^{128} \ge \left (\dfrac{a+b+c+d+e}{5}\right )^{125}(abcde)^{103}$$

Bài toán :
Cho $a, b$ là các số thực không âm. $n \in N$. Chứng minh rằng :
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$

Bài toán
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^3}{1-4xy^2z}+\dfrac{y^3}{1-4xyz^2}+\dfrac{z^3}{1-4x^2yz} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{5}$$