Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


robin997

Đăng ký: 02-08-2012
Offline Đăng nhập: 31-07-2019 - 06:01
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cm $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C...

24-09-2014 - 14:26

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.
 
Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 
Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
 
Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$
 
Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$
 
Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

_______________________________________________

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$

Srr, mình không chú ý ví dụ của mình,... nhưng chỗ đó đâu có suy ra như với số thực như vậy được:

Với $n=3$ và $z_1=i$, $z_2=0$:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$

Trong chủ đề: Tìm toạ độ của $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$

07-07-2014 - 18:59

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)
attachicon.gifpolygon.png
 
$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.
$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


 
Để đơn giản, ta có thể dùng tọa độ phức cho bài toán này và sử dụng các chữ cái nhỏ (vd, $p$) cho các điểm (vd, $P$), ta có công thức:
$\left\{\begin{matrix}
p_1=1, p_2=1+i, p_3=i, p_4=0
\\ p_{n+4}=\frac{p_n+p_{n+1}}{2}\Leftrightarrow 2p_{n+4}-p_{n+1}-p_{n}=0
\end{matrix}\right.$

Xét phương trình đặc trưng:
$2 \lambda ^4-\lambda-1=0\\ \Leftrightarrow (\lambda -1)(2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1)=0\\ \Leftrightarrow \lambda =1 {v} 2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$

Ta có công thức tổng quát cho dãy $p_n$:
$p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$
(Trong đó, $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$ là các nghiệm của phương trình $2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$ $(1)$, và dễ thấy, $1^n=1\forall n\in N$)

Ta giải câu $\fbox b$ trước tiên:

Tọa độ phức của $P$ là: $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n$

Ta sẽ chứng minh $|\lambda _i|<1$ :
Ta có phương trình $(1)$ phải có 1 nghiệm thực (lấy là $\lambda _1$) và cặp nghiệm phức liên hợp ($\lambda _2$ và $\lambda _3$) do với $f(x)=2 x^3+2 x^2+2 x+1$, $f'(x)=6 x^2+4 x+2=4 x^2+2(x+1)^2>0\forall x$.

Với $f(-1)=-1<0$ và $f(-0.5)=0.25>0$, ta có: $-1<\lambda _1<-0.5$ $\left(0.5<|\lambda _1|<1\right)$

Theo định lí Viette, ta lại có: $\lambda _1 \lambda _2 \lambda _3=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \lambda _2 \lambda _3=|\lambda _2|^2=|\lambda _3|^2=\frac{-0.5}{\lambda _1}<1$ (cặp nghiệm phức liên hợp)

Theo đó, ta có $|\lambda _i|<1\forall i$

Vì vậy, $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n=a$

Ta lại có: $2p_3+2p_2+2p_1+p_0=7a+\sum_ia_i(2\lambda _i^3+2\lambda _i^2+2\lambda _i+1)$
Theo đó: $p=a=\frac{2p_3+2p_2+2p_1+p_0}{7}=\frac{3}{7}+i \frac{4}{7}$
($p_0=2p_4-p_1=-1$)

Tọa độ của $P$ là: $\left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right)$

Câu $\fbox a$:

Với công thức $p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, lấy:
$z_n=p_n-a=a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, theo đó, ta có công thức truy hồi của $z_n$ là:
$2z_{n+3}+2z_{n+2}+2z_{n+1}+z_{n}=0$
Thế lại $p_n$, ta có:
$2p_{n+3}+2p_{n+2}+2p_{n+1}+p_{n}=7a=3+4i\\\Leftrightarrow \frac{1}{2} p_{n}+p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}=\frac{3}{2}+2i$

Theo đó:
$\frac{1}{2} x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} y_{n}+y_{n+1}+y_{n+2}+y_{n+3}=2$
 
Spoiler

Trong chủ đề: $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge...

03-10-2013 - 04:50

Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $

-Đặt mệnh đề "với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $" là $U$:
-Đặt $z=a w-1$, trong đó: $a\in R$ không âm và $w$ nằm trên đường tròn đơn vị: $|w|=w\bar{w}=1$ $(C_1)$
( $z$ nằm trên đường tròn tâm $1$ bán kính $a$ - luôn tồn tại cách đặt như thế )
-Theo đó:
$U\equiv \forall a\in R^+U\text{{0}},w\in C_1: a\ge m v |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\\\equiv a\in [0;m)\Rightarrow |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\forall w\in C_1(AvB\equiv\bar{A}\Rightarrow B)$
-Mệnh đề sau dấu suy ra tương đương :
$|a^2w^2-2aw+2|^2 \\= (a^2w^2-2aw+2)(a^2\bar{w}^2-2a\bar{w}+2)\\=a^4+4a^2+4-2a^3(w+\bar{w})-4a (w+\bar{w})+2a^2 (w^2+\bar{w}^2)\\=a^4-2a^3(w+\bar{w})+2a^2(w+\bar{w})^2-4a (w+\bar{w})+4\ge 1$
Ta có khi $w$ di chuyển trên đường tròn đơn vị, $w+\bar{w}=2\Re (w)=b\in [-2;2]$
-Theo đó:
$U\equiv a\in [0;m)\Rightarrow a^4-2a^3b+2a^2b^2-4ab+3=f\ge 0\forall b\in[-2;2]$
Spoiler

Có parabol quay xuống dưới và đỉnh: $f'_b=4a^2b-(2a^3+4a)=0\Leftrightarrow b=\frac{a^2+2}{2a}$,dương ,không lớn hơn hai với $a$ thuộc $[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}]$ $(1)$ và lớn hơn hai với $a$ còn lại $(2)$:
-Với $a$ thuộc khoảng $(1)$: $minf(b)=f(\frac{a^2+2}{2a})=(a^2-2)^2-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{2+\sqrt{2}}va\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$
-Với $a$ thuộc khoảng $(2)$: $minf(b)=f(2)=a^4-4a^3+8a^2-8a+3=(a-1)^2(a^2-2a+3)\ge 0$ ( Hiển nhiên )
Do đó, để $a$ thỏa mãn cho điều kiện sau dấu suy ra là $[0;\sqrt{2-\sqrt{2}}]U[\sqrt{2+\sqrt{2}};+\infty]$
-Điều kiện của $m$: $m\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ ( đpcm )

Trong chủ đề: $S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1...

22-09-2013 - 09:49

Tính tổng sau: $S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1)$

$S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1)\\=\sum_{k=0}^{n}k!((k+1)^2-k)\\=\sum_{k=0}^{n}k!(k+1)^2-k!k\\=\sum_{k=0}^{n}(k+1)!(k+1)-k!k=(n+1)!(n+1)-0=(n+1)!(n+1)$

Trong chủ đề: $ADM$ và $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Cm...

26-08-2013 - 16:49

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $M$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho tam giác $ADM$ và tứ giác $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Chứng minh rằng hai cạnh nào đó của tứ giác $ABCD$ có cùng độ dài.

Đề bài không luôn luôn đúng, ta có một ví dụ...

https://docs.google....nZsQXUtTms/edit

( Với $j=AB+BC+CM$, $k=AD+DM$ )