Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


robin997

Đăng ký: 02-08-2012
Offline Đăng nhập: 31-07-2019 - 06:01
****-

#536836 Putnam 2014

Gửi bởi robin997 trong 09-12-2014 - 15:10

William Lowell Putnam Mathematical Competition 2014 (06/12/2014)

Phần A

Bài 1: Chứng minh rằng tất cả các hệ số của chuỗi Taylor hàm $(1-x+x^{2})e^{x}$ tại $x=0$ đều là các số hữu tỉ với tử số (sau khi rút gọn) bằng $1$ hoặc một số nguyên tố.

Bài 2: Cho $A$ là một ma trận vuông $n\times n$ có các phần tử ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ là:
$$\frac{1}{\min(i,j)}$$
với $1\le i,j\le n$. Tính $det(A)$.

Bài 3: Cho $a_0=\frac{5}{2}$ và $a_{k}=a^2_{k-1}-2$ với $k\ge 1$. Tính
$$\prod^{\infty}_{k=0}\left( 1-\frac{1}{a_k}\right)$$

Bài 4: Lấy $X$ là một biến số ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không âm, với $E[X]=1$, $E[X^2]=2$, và $E[X^3]=5$. (Ở đây, $E[Y]$ ký hiệu cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y$.) Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của xác suất tại biến cố $X=0$.

Bài 5: Cho $P_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$. Chứng minh rằng các đa thức $P_j(x)$ và $P_k(x)$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương $j$ và $k$ sao cho $j\ne k$.

Bài 6: Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định $k$ lớn nhất mà tại đó, tồn tại các ma trận vuông $n\times n$: $M_1,\dots,M_k$ và $N_1,\dots,N_k$ với các phần tử thực sao cho tồn tại một phần tử $0$ trên đường chéo chính của ma trận tích $M_iN_j$ khi và chỉ khi $i\ne j$?

Phần B

Bài 1: Ta định nghĩa trong cơ sở $10$ một 'khai triển thừa' của số nguyên dương $N$ là biểu thức $N=d_k10^k+d_{k-1}10^{k-1}+\cdots+d_0 10^0$, trong đó, $d_i\in [0,10]\forall i$ và $d_k\neq 0$. Ví dụ, số nguyên $N=10$ có hai khai triển thừa trong cơ sở $10$: $N=10\cdot 10^0$ và khai triển thông thường, $N=1\cdot 10^1+0\cdot 10^0$. Số nguyên dương nào chỉ có duy nhất một khai triển thừa trong cơ sở $10$?

Bài 2: Lấy $f$ là một hàm trên khoảng $[1,3]$ sao cho $-1\le f(x)\le 1$ với mọi x và $\int_1^3f(x) dx=0$. Giá trị lớn nhất của $\int_1^3\frac{f(x)}x dx$ là bao nhiêu?

Bài 3: Cho $A$ là một ma trận $m\times n$ với các phần tử hữu tỷ. Giả sử rằng có ít nhất $m+n$ số nguyên tố phân biệt trong số các trị tuyệt đối của các phần tử của $A$. Chứng minh rằng hạng của ma trận $A$ không bé hơn $2$.

Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, mọi nghiệm của đa thức
$$\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)}x^k$$
đều là các số thực.

Bài 5: Tại cuộc thi Putnam hàng năm lần thứ $75$, những người tham gia cạnh tranh trong các trò chơi toán học. Patniss và Keeta chơi một trò chơi mà tại đó họ lần lượt chọn ra một từ nhóm các ma trận vuông khả nghịch cấp $n$ với các phần tử trong trường $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố cho trước). Các luật của trò chơi gồm:

(1) Một người không thể chọn một ma trận đã được chọn trong bất kỳ lượt trước nào.

(2) Một người chỉ có thể chọn một ma trận $A$ sao cho $A$ giao hoán với tất cả các ma trận đã được chọn bởi hai người trong các lượt trước.

(3) Người nào không thể tiếp tục chọn thỏa mãn các yêu cầu trên thì thua.

Biết Patniss chọn lượt đầu tiên, ai là người có chiến thuật có thể bảo đảm thắng?

Bài 6: Cho $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ là một hàm số sao cho tồn tại một hằng số $K>0$ thỏa mãn $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ với mọi $x,y\in [0,1]$. Giả sử rằng với mỗi số hữu tỷ $r\in [0,1]$, cũng tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $f($$r$$)=a+br$. Chứng minh rằng có hữu hạn các khoảng $I_1,\dots,I_n$ sao cho $f$ là một hàm tuyến tính trên $I_i$ và $[0,1]=\bigcup_{i=1}^nI_i$.




#525961 Cm $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}...

Gửi bởi robin997 trong 24-09-2014 - 14:26

Cần phải cho thêm điều kiện $n\in\mathbb{N}^*$. Tức là $n\ge1$.
 
Xét $T=\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|z_1-z_2|}$$=\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}\right|$$=\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1+z_2}{4^2}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|$

$\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|$

 
Mà $\left|-\frac{z_1+z_2}{4^2}\right|=\frac{\left|z_1+z_2\right|}{16}\le\frac{|z_1|+|z_2|}{16}\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$
 
Suy ra $T\ge\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|-\frac{1}{8}$
 
Mặt khác ta lại có : $\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}+...+\frac{z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_1z_2^{n-2}+z_2^{n-1}}{4^n}\right|\ge\frac{1}{4}$
 
Vậy $T\ge\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. $\boxed{}$

 
... mình nghĩ hình như đoạn này không ổn lắm thì phải.
 
Với $n=3$ và $z_1=z_2=i$, ta có:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{3}{4^3}\right|=\left|\frac{13}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$
(Hàm $f(z)$ lấy trên $\mathbb{C}$)

_______________________________________________

Chú ý điều kiện $z_1\ne z_2$ và $|z_1| , |z_2| \le 1$

Srr, mình không chú ý ví dụ của mình,... nhưng chỗ đó đâu có suy ra như với số thực như vậy được:

Với $n=3$ và $z_1=i$, $z_2=0$:
$\left|\frac{1}{4}+\frac{z_1^2+z_1z_2+z_2^2}{4^3}\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{4^3}\right|<\frac{1}{4}$


#524831 USA NIMO (Monthly Contest #15)

Gửi bởi robin997 trong 16-09-2014 - 15:50

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren




#522934 China Girls Math Olympiad 2014

Gửi bởi robin997 trong 05-09-2014 - 15:59

China Girls Math Olympiad 2014

 

Ngày 1: 12/08/2014

Bài 1. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ giao nhau tại $A, B$. Ta kéo dài đường $O_1 A$, cắt $(O_2)$ tại C; kéo dài đường $O_2 A$ và cắt $(O_1)$ tại $D$. Qua điểm $B$, ta vẽ đường thẳng song song với $O_2 A$, cắt $(O_1)$ tại điểm thứ hai là $E$. Chứng minh rằng nếu $DE \parallel O_1A$ thì $DC \perp CO_2$.

cgmo%202014%20p1.jpg


Bài 2. Cho dãy các số thực $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, trong đó, $n\ge 2$ là một số nguyên; và $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor$ là một hoán vị của $1,2,\ldots,n$.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$
(Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ được dùng là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Bài 3. Trong một lớp học có $n$ học sinh: mỗi học sinh quen với đúng $d$ bạn nữ và $d$ bạn nam ("quen" là một quan hệ hai bên). Tìm tất cả các cặp $(n,d)$ thỏa mãn cho lớp học đó.

Bài 4. Với mỗi số nguyên $m\geq 4$, Ta lấy $T_{m}$ là số các dãy số $a_{1},\dots,a_{m}$ sao cho các mệnh đề sau được thỏa mãn:
(1) $a_{i}\in \{1,2,3,4\}$ $\forall i=\overline{1,m}$
(2) $a_{1} = a_{m} = 1$
(3) Các số $a_{i}$, $a_{i-1}$ và $a_{i-2}$ là phân biệt với mọi $i=\overline{3,m}$

Chứng minh rằng tồn tại một cấp số nhân gồm các số nguyên dương $\{g_{n}\}$ sao cho với $n\geq 4$ ta có
$$g_{n} - 2\sqrt{g_{n}} < T_{n} < g_{n} + 2\sqrt{g_{n}}$$.

Ngày 2: 13/08/2014

Bài 5. Cho $a$ là một số nguyên dương, nhưng không chính phương; $r$ là một nghiệm thực của phương trình $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh rằng $r+\sqrt{a}$ là một số vô tỉ.

Bài 6. Cho tam giác nhọn $ABC$: $AB > AC$. Lấy $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCE$ tại điểm thứ hai là $P$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ tại điểm thứ hai là $Q$. Chứng minh rằng $AP = AQ$.

Bài 7. Với một tập hợp $X$ khác rỗng gồm hữu hạn các số thực, ta định nghĩa hàm $f(X) = \frac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$, trong đó, $\left\lvert X \right\rvert$ là số các phần tử của $X$. Với các cặp tập hợp có sắp xếp $(A,B)$ sao cho $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ và $A\cap B = \emptyset$ $\left( 1\leq |A| \leq 98\right) $, ta chọn một số $p\in B$ bất kỳ, và lấy $A_{p} = A\cup \{p\}$ và $B_{p} = B - \{p\}$. Trong tất cả các cặp $(A,B)$ và $p\in B$, hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B))$.

Bài 8. Cho $n$ là một số nguyên dương, và tập hợp $S$ gồm tất cả các giá trị nguyên tố cùng nhau với $n$ trong $\{1,2,\dots,n\}$.
Ta định nghĩa các tập hợp $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$, $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$, $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$.
Chứng minh rằng nếu số các phần tử của $S$ là một bội số của $3$ thì $S_1, S_2, S_3$ có cùng một số các phần tử.

 

--- Hết ---




#520907 Cono Sur Olympiad 2014

Gửi bởi robin997 trong 23-08-2014 - 17:44

cono%20sur.png


Cono Sur Olympiad 2014

 
Ngày 1: 18/08/2014
 
Bài 1. Ta viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.

Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.

Bài 2. Một cặp số $(a,b)$ được gọi là charrúa nếu tồn tại một số nguyên dương $c$ sao cho cả hai $a+b+c$ và $a\times b\times c$ đều là các số chính phương; Nếu không có số $c$ thỏa mãn, ta gọi cặp số đó là no-charrúa.

a) Chứng minh rằng ta có thể có vô số các cặp số no-charrúa.
b) Chứng minh rằng tồn tại vố số các số $n$ sao cho cặp $(2,n)$ là charrúa.

Bài 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và một điểm $P$ nằm ngoài sao cho $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ và diện tích của ngũ giác $ABPCD$ bằng với $AB^{2}$.

Chứng minh rằng $ABPCD$ có thể được chia làm $3$ mảnh bằng các đường cắt thẳng sao cho ta có thể dựng được một hình vuông từ $3$ mảnh đó mà không để lại lỗ trong hình vuông và các miếng đó không được chồng lên nhau.

(Các mảnh đó có thể được dịch chuyển, quay hay lật ngược lại để tạo thành hình vuông).
 
 
Ngày 2: 19/08/2014

Bài 4. Hãy chỉ ra rằng $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ không phải là một số nguyên tố, trong đó, $n$ là một số nguyên dương.

Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$, với điểm đó nằm trong $ABCD$ và $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E$. Ta vẽ các đường thẳng $r$ và $s$ qua $E$ sao cho $r$ vuông góc với $BC$, và $s$ vuông góc với $AD$. Lấy $P$ là giao điểm của $r$ với $AD$, và $M$ là giao điểm của $s$ với $BC$. Cho $N$ là trung điểm của $EO$.

Chứng minh rằng các điểm $M$, $N$, và $P$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 6. Cho $F$ là một họ các tập con của $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ $(n \geq 2)$. Trong mỗi lần chơi được cho phép, ta chọn hai tập hợp $A$ và $B$ không giao nhau từ $F$, và thêm tập $A \cup B$ vào $F$ (mà không loại $A$ và $B$ ra ngoài).

Ban đầu, $F$ xuất phát với tất cả các tập con chỉ gồm $1$ phần tử của $S$. Mục đích là tạo nên tất cả các tập con gồm $n - 1$ phần of $S$ trong $F$ bằng các lần chơi trên.

Tìm số các lần chơi thấp nhất cần thiết để đạt được đích.
 

--- Hết ---

*Charrúa được nhắc đến là tên bộ tộc bản địa của Nam Mỹ.




#520005 Saudi Arabia IMO Team Selection Test 2014

Gửi bởi robin997 trong 17-08-2014 - 06:06

Saudi Arabia IMO Team Selection Test 2014

 
Ngày 1: 23/5/2014

Bài 1. Tarik và Sultan cùng chơi với nhau một trò chơi như sau: Tarik nghĩ về một số nguyên lớn hơn $100$; và Sultan sẽ phải đoán lần lượt các số lớn hơn $1$. Nếu số Tarik đang nghĩ tới chia hết cho con số mà Sultan đoán, Sultan sẽ thắng; nếu ngược lại, Tarik phải lấy số của mình trừ bớt cho số của Sultan và Sultan tiếp tục đoán. Theo luật, Sultan không được lặp lại con số mà mình đã đoán và cậu ta sẽ thua nếu số của Tarik trở nên nhỏ hơn $0$. Hỏi Sultan có thể có một chiến thuật để thắng không?

Bài 2. Ta định nghĩa một domino là một cặp số nguyên dương khác nhau có sắp xếp (Ví dụ, ta có $(3,5)$ và $(5,3)$ là $2$ domino khác nhau). Một dãy domino được gọi là hoàn chình nếu gồm các domino khác nhau được sắp xếp sao cho số đầu của domino này sẽ bằng với số sau của domino liền trước; và $2$ domino $(i,j)$ và $(j,i)$ không được cùng xuất hiện trong dãy với mọi $i$ và $j$. Cho $D_n$ là tập hợp các domino với các số trong cặp không lớn hơn $n$. Hãy tìm chiều dài xa nhất mà một dãy domino hoàn chỉnh có thể đạt được khi được dựng từ các domino của $D_n$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$ trên $BC$. Ta lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên $AB$ và $AC$ sao cho $MN$ không song song với $BC$ và $AMPN$ là một hình bình hành. Đường $MN$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$ tại $2$ điểm $R$ và $S$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $RPS$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N} ^*\rightarrow\mathbb{N} ^*$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(n+1)>\frac{f(n)+f(f(n))}{2}\forall n\in \mathbb{N} ^*$$

Ngày 2: 24/5/2014

Bài 1. Cho $\Gamma$ là một đường tròn với tâm $O$ và đường kính $AE$. Lấy điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $OE$ và điểm $B$ là trung điểm của cung tròn $\widehat{AE}$ trên $\Gamma$. Dựng điểm $C$ sao cho $ABCD$ là một hình bình hành. Đường $EB$ và $CD$ giao nhau tại $F$. Đường thẳng $OF$ cắt cung nhỏ $\widehat{EB}$ tại $I$. Chứng minh rằng đường $EI$ chia đôi góc $BEC$.

Bài 2. Cho $S$ là một tập hợp gồm $5$ số thực dương sao cho với $3$ phần tử $a,b,c$ bất kỳ trong $S$, ta có $\left(ab+bc+ca\right)$ là một số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi chọn ra $2$ phần tử $a$ và $b$ bất kỳ trong $S$ thì thương số $\frac{a}{b}$ luôn là số hữu tỉ.

Bài 3. Chứng minh rằng ta luôn có thể lập một bảng $n \times n$ các số không âm (không nhất thiết khác nhau) sao cho tổng các hàng và các cột là các số chính phương khác nhau.

Bài 4. Aws xếp một bộ bài chuẩn $52$ lá lên bàn thành hàng và chơi trò chơi như sau: nếu như $2$ lá kề nhau có cùng màu, thì cậu có thể loại chúng ra ngoài; và Aws sẽ thắng nếu tất cả các lá bài đều được loại bỏ. Nếu bộ bài được xếp ngẫu nhiên, xác suất mà cậu ta có thể thắng là bao nhiêu?
(Đây là một dạng của solitaire, trò chơi mà người chơi phải thực hiện thao tác trên cách sắp xếp được cho trước của các lá bài).

Ngày 3: 27/5/2014

Bài 1. Một số hoàn hảo là một số nguyên mà một nửa tổng tất cả các ước số dương bằng với chính số đó. Ví dụ, bởi vì $28 = \frac{1}{2} \left(1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28\right)$, $28$ là một số hoàn hảo.
(a) Tìm tất cả các số nguyên không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố bất kỳ nào mà cũng là một số hoàn hảo.
(b) Chứng minh rằng không thể có số chính phương là một số hoàn hảo.

Bài 2. Xác định tất cả các hàm số $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ sao cho $f(0)=0$ và
$$f(x)=1+5 f \left(\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor \right)-6f\left(\left\lfloor \frac{x}{4}\right \rfloor \right)\forall x>0$$

Bài 3. Ta có $2015$ đồng xu trên bàn. Với $i = 1, 2, \dots , 2015$, lần lượt, ta phải lật ngược đúng $i$ đồng xu. Chứng minh rằng ta luôn có thể làm tất cả các đồng xu cùng xấp hoặc cùng ngửa; nhưng không được có cả hai cùng lúc.

Bài 4. Cho các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ với tâm $O_1$ và $O_2$, giao nhau tai $2$ điểm $A$ và $B$. Lấy $X$ và $Y$ là các điểm trên $\omega_1$. Đường thẳng $XA$ và $YA$ giao $\omega_2$ lần lượt tại $Z$ và $W$ khác $A$ sao cho $A$ nằm giữa $X$ và $Z$ và giữa $Y$ và $W$. Lấy trung điểm $M$ của $O_1 O_2$, trung điểm $S$ của $XA$ và trung điểm $T$ của $WA$. Chứng minh rằng $MS = MT$ khi và chỉ khi $4$ điểm $X,Y,Z,W$ đồng viên.

Ngày 4: 28/5/2014

Bài 1. Cho $a_1,\dots,a_n$ là một dãy không tăng gồm các số thực dương. Chứng minnh rằng:
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\le a_1+\frac{a_2}{\sqrt{2}+1}+\cdots+\frac{a_n}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}.$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 2. Trong một giải đấu, mỗi đấu thủ chơi đúng $1$ trận với mỗi người khác. Trong một trận, người thắng nhận được $1$ điểm, người thua nhận được $0$, và mỗi người sẽ được $\tfrac{1}{2}$ nếu như trận đấu hòa. Sau khi tổng kết giải đấu, người ta thấy rằng đúng một nửa của số điểm mỗi người nhận được đều đến từ các trận người đó chơi với $10$ người thấp điểm nhất. (Với mỗi trong $10$ người đó thì một nửa điểm của người đó đến từ các trận chơi với $9$ người kia). Hỏi đã có tổng cộng bao nhiêu người chơi trong chận đấu đó?

Bài 3. Cho hai viên sỏi $A$ và $B$ trên các mắt của một mạng lưới vuông. Mỗi lượt, ta có thể dời chỗ $1$ trong $2$ viên sỏi sang một mắt khác của lưới sao cho khoảng cách giữa chúng không đổi. Có thể hay không, sau một số lượt nhất định, ta đổi chỗ được $2$ viên sỏi ban đầu?

Bài 4. Cho trước $3$ điểm $A_1, B_1, C_1$ trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác $ABC$, sao cho $AB_1 -AC_1 = CA_1 -CB_1 = BC_1 -BA_1$. Lấy $I_A, I_B, I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $AB_1 C_1, A_1 BC_1$ và $A_1 B_1 C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $I_A I_B I_C$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
 

--- Hết ---




#517982 India TST 2014

Gửi bởi robin997 trong 06-08-2014 - 15:05

India IMO Team Selection Test 2014

 

Ngày 1: 07/5/2014

 

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)$ và $f(2^n)$ là các nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên $n$.

Bài 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:
Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\bar{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 3. Bắt đầu với bộ ba $(1007\sqrt{2}, 2014\sqrt{2} ,1007\sqrt{14})$, ta định nghĩa dãy các bộ ba $(x_n, y_n, z_n)$ theo công thức:
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n(-x_n+y_n+z_n)}, y_{n+1}=\sqrt{y_n(x_n-y_n+z_n)},z_{n+1}=\sqrt{z_n(x_n+y_n-z_n)}\forall n\ge 0$$
Chứng minh rằng các dãy số $x_n,y_n,z_n$ luôn hội tụ và hãy tìm các điểm hội tụ đó.
 
 

Ngày 2: 08/5/2014

Bài 1. Cho $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$, $Q$ là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp vời đường thẳng $AC$, $E$ là trung điểm của $AC$ và $K$ là trực tâm của tam giác $BIC$. Chứng minh rằng đường thẳng $KQ$ vuông góc với đường thẳng $IE$.

Bài 2. Với $j=\bar{1,3}$, ta lấy các số thực khác $0$ $x_j ,y_j$ và lấy $v_j=x_j+y_j$. Giả sử rằng các điều kiện sau đều được thỏa mãn:
$ x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3} ;$
$x_1^2 + x_2^2+ x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2 ;$

$v_1,v_2,v_3$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác và
$v_1^2,v_2^2,v_3^2$ thỏa mãn các bất đẳng thức trong tam giác,

Chứng minh rằng đúng một trong các số $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là số âm.

Bài 3. Cho $r$ là một số nguyên dương, lấy $a_0,a_1,...$ là một dãy vô hạn các số thực. Giả sử rằng với mọi số nguyên không âm $m$ và $s$, tồn tại một số nguyên dương $n\in \left[ m+1,m+s\right]$ sao cho:
$$a_m+a_{m+1}+...+a_{m+s}=a_{n}+a_{n+1}+...+a_{n+s}$$
Chứng minh rằng dãy trên tuần hoàn (Hay nói cách khác, ta có thể tìm được số $p>0$ nào đó sao cho $a_{n+p}=a_n\forall n\ge 0$)

 

 
Ngày 3: 14/5/2014

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với $AB\neq AC$ và $\angle A\neq 60^{\circ}, 120^{\circ}$. Lấy $D$ là một điểm trên đường thẳng $AC$ khác $C$. giả sử rằng các tâm ngoại tiếp và các trực tâm của tam giác $ABC$ và $ABD$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng $\angle ABD=\angle ACB$.

Bài 2. Tồn tại hay không một dãy vô hạn các chữ số khác $0$ (các số có giá trị từ $1$ tới $9$) $a_1, a_2,a_3...$ và một số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên $k> N$, số $ \overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 } $ là một một số chính phương.

Bài 3. Có bao nhiêu cách mà ta có thể xếp các quân xe lên một bàn cờ $8\times 8$ sao cho mỗi cột và mỗi hàng đều có ít nhất $1$ quân xe?
 
 

Ngày 4: 15/5/2014

Bài 1. Chứng minh rằng trong bất kỳ một tập hợp gồm $2000$ số thực phân biệt, ta luôn tìm được $2$ cặp số $a>b$ và $c>d$, với $a\neq c$ hay $b\neq d$, sao cho:
$$\left| \frac{a-b}{c-d}-1\right| <\frac{1}{1000}$$.

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{x+y}=y^{3x}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $\angle B>\angle C$. Lấy $P$ và $Q$ là 2 điểm phân biệt trên đường thẳng $AC$ sao cho $\angle PBA=\angle QBA=\angle ACB$ và $A$ nằm giữa $P$ và $C$. Giả sử rằng tồn tại một điểm $D$ trên đoạn thẳng $BQ$ sao cho $PD=PB$. Lấy $R$ là một giao điểm khác $A$ của tia $AD$ với đường tròn $(ABC)$. Chứng minh rằng $QB=QR$.
 

--- Hết ---




#516213 Benelux Mathematical Olympiad 2014 (BxMO 2014)

Gửi bởi robin997 trong 29-07-2014 - 02:16

logo_bxmo_2014_300.png

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=\left \lfloor \frac{a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor$$
với $a$, $b$, $c$, $d$ là những số nguyên dương.
(Trong đó, ta định nghĩa $\left \lfloor x\right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất, không vượt quá số thực $x$.)

 

Bài 2. Lấy $k\geq 1$ là một số nguyên cho trước.Ta xét $4k$ đồng xu, với $2k$ trong số đó có màu đỏ và $2k$ còn lại mang màu xanh. Một dãy tạo bởi $4k$ đồng xu trên có thể được biến đổi thành một dãy khác qua một phép "dịch", bằng cách đổi chỗ một (và chỉ một lần) nhóm các đồng màu đỏ kề nhau và một nhóm các đồng màu xanh kề nhau, có cùng số lượng. Ví dụ, ta có thể dịch dãy $r\underline{bb}br\underline{rr}b$ thành dãy $r\underline{rr}br\underline{bb}b$, với $r$ là một đồng màu đỏ và $b$ là một đồng màu xanh ở trong dãy.
Tính giá trị $n$ nhỏ nhất (bằng một hàm số theo $k$) sao cho bắt đầu từ một dãy $4k$ đồng xu bất kì trên, ta cần dịch nhiều nhất $n$ lần để cho $2k$ đồng đầu tiên trong dãy đều mang màu đỏ.

 

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 2$ thỏa mãn tính chất sau:
Với mỗi cặp $k,l$ là ước số dương bất kì của $n$, có ít nhất một số, $2k-l$ hoặc $2l-k$ cũng là một ước số (không nhất thiết dương) của $n$.

 

Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$. Giả sử $P$ là điểm bất kì nằm trong hình vuông sao cho $\angle BAP\ge 60^{\circ}$. Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và đường thẳng vuông góc với $BP$ tại $P$, còn $R$ là giao điểm của đường thẳng $BQ$ và đường vuông góc với $BP$ dựng từ $C$.
a) Chứng minh rằng $\left| BP\right| \geq \left| BR\right|$.
b) Tại vị trí nào của $P$ thì dấu đẳng thức ở câu (a) xảy ra?

 

--- Hết ---




#511507 Tìm toạ độ của $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$

Gửi bởi robin997 trong 07-07-2014 - 18:59

Trong mặt phẳng toạ độ $xOy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$. (xem hình)
attachicon.gifpolygon.png
 
$\fbox a$ Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2$. Tìm toạ độ $y_n$.
$\fbox b$ Tìm toạ độ của điểm $P$


 
Để đơn giản, ta có thể dùng tọa độ phức cho bài toán này và sử dụng các chữ cái nhỏ (vd, $p$) cho các điểm (vd, $P$), ta có công thức:
$\left\{\begin{matrix}
p_1=1, p_2=1+i, p_3=i, p_4=0
\\ p_{n+4}=\frac{p_n+p_{n+1}}{2}\Leftrightarrow 2p_{n+4}-p_{n+1}-p_{n}=0
\end{matrix}\right.$

Xét phương trình đặc trưng:
$2 \lambda ^4-\lambda-1=0\\ \Leftrightarrow (\lambda -1)(2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1)=0\\ \Leftrightarrow \lambda =1 {v} 2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$

Ta có công thức tổng quát cho dãy $p_n$:
$p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$
(Trong đó, $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3$ là các nghiệm của phương trình $2 \lambda ^3+2 \lambda ^2+2 \lambda +1=0$ $(1)$, và dễ thấy, $1^n=1\forall n\in N$)

Ta giải câu $\fbox b$ trước tiên:

Tọa độ phức của $P$ là: $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n$

Ta sẽ chứng minh $|\lambda _i|<1$ :
Ta có phương trình $(1)$ phải có 1 nghiệm thực (lấy là $\lambda _1$) và cặp nghiệm phức liên hợp ($\lambda _2$ và $\lambda _3$) do với $f(x)=2 x^3+2 x^2+2 x+1$, $f'(x)=6 x^2+4 x+2=4 x^2+2(x+1)^2>0\forall x$.

Với $f(-1)=-1<0$ và $f(-0.5)=0.25>0$, ta có: $-1<\lambda _1<-0.5$ $\left(0.5<|\lambda _1|<1\right)$

Theo định lí Viette, ta lại có: $\lambda _1 \lambda _2 \lambda _3=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \lambda _2 \lambda _3=|\lambda _2|^2=|\lambda _3|^2=\frac{-0.5}{\lambda _1}<1$ (cặp nghiệm phức liên hợp)

Theo đó, ta có $|\lambda _i|<1\forall i$

Vì vậy, $p=\lim_{n \to \infty} p_n=a+a_1 \lim_{n \to \infty} \lambda _1^n+a_2 \lim_{n \to \infty} \lambda _2^n+a_3 \lim_{n \to \infty} \lambda _3^n=a$

Ta lại có: $2p_3+2p_2+2p_1+p_0=7a+\sum_ia_i(2\lambda _i^3+2\lambda _i^2+2\lambda _i+1)$
Theo đó: $p=a=\frac{2p_3+2p_2+2p_1+p_0}{7}=\frac{3}{7}+i \frac{4}{7}$
($p_0=2p_4-p_1=-1$)

Tọa độ của $P$ là: $\left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right)$

Câu $\fbox a$:

Với công thức $p_n=a+a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, lấy:
$z_n=p_n-a=a_1 \lambda _1 ^n+a_2 \lambda _2 ^n+a_3 \lambda _3 ^n$, theo đó, ta có công thức truy hồi của $z_n$ là:
$2z_{n+3}+2z_{n+2}+2z_{n+1}+z_{n}=0$
Thế lại $p_n$, ta có:
$2p_{n+3}+2p_{n+2}+2p_{n+1}+p_{n}=7a=3+4i\\\Leftrightarrow \frac{1}{2} p_{n}+p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}=\frac{3}{2}+2i$

Theo đó:
$\frac{1}{2} x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} y_{n}+y_{n+1}+y_{n+2}+y_{n+3}=2$
 
Spoiler



#454801 $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m...

Gửi bởi robin997 trong 03-10-2013 - 04:50

Chứng minh $m=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ là giá trị lớn nhất của $m$ sao cho với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $

-Đặt mệnh đề "với mọi $z \in \mathbb{C}$ thì $|z+1| \ge m$ hoặc $|z^2+1| \ge 1 $" là $U$:
-Đặt $z=a w-1$, trong đó: $a\in R$ không âm và $w$ nằm trên đường tròn đơn vị: $|w|=w\bar{w}=1$ $(C_1)$
( $z$ nằm trên đường tròn tâm $1$ bán kính $a$ - luôn tồn tại cách đặt như thế )
-Theo đó:
$U\equiv \forall a\in R^+U\text{{0}},w\in C_1: a\ge m v |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\\\equiv a\in [0;m)\Rightarrow |a^2w^2-2aw+2|\ge 1\forall w\in C_1(AvB\equiv\bar{A}\Rightarrow B)$
-Mệnh đề sau dấu suy ra tương đương :
$|a^2w^2-2aw+2|^2 \\= (a^2w^2-2aw+2)(a^2\bar{w}^2-2a\bar{w}+2)\\=a^4+4a^2+4-2a^3(w+\bar{w})-4a (w+\bar{w})+2a^2 (w^2+\bar{w}^2)\\=a^4-2a^3(w+\bar{w})+2a^2(w+\bar{w})^2-4a (w+\bar{w})+4\ge 1$
Ta có khi $w$ di chuyển trên đường tròn đơn vị, $w+\bar{w}=2\Re (w)=b\in [-2;2]$
-Theo đó:
$U\equiv a\in [0;m)\Rightarrow a^4-2a^3b+2a^2b^2-4ab+3=f\ge 0\forall b\in[-2;2]$
Spoiler

Có parabol quay xuống dưới và đỉnh: $f'_b=4a^2b-(2a^3+4a)=0\Leftrightarrow b=\frac{a^2+2}{2a}$,dương ,không lớn hơn hai với $a$ thuộc $[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}]$ $(1)$ và lớn hơn hai với $a$ còn lại $(2)$:
-Với $a$ thuộc khoảng $(1)$: $minf(b)=f(\frac{a^2+2}{2a})=(a^2-2)^2-2\ge 0\Leftrightarrow a\ge \sqrt{2+\sqrt{2}}va\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$
-Với $a$ thuộc khoảng $(2)$: $minf(b)=f(2)=a^4-4a^3+8a^2-8a+3=(a-1)^2(a^2-2a+3)\ge 0$ ( Hiển nhiên )
Do đó, để $a$ thỏa mãn cho điều kiện sau dấu suy ra là $[0;\sqrt{2-\sqrt{2}}]U[\sqrt{2+\sqrt{2}};+\infty]$
-Điều kiện của $m$: $m\le \sqrt{2-\sqrt{2}}$ ( đpcm )


#452254 $S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1)$

Gửi bởi robin997 trong 22-09-2013 - 09:49

Tính tổng sau: $S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1)$

$S=\sum_{k=0}^{n}k!(k^{2}+k+1)\\=\sum_{k=0}^{n}k!((k+1)^2-k)\\=\sum_{k=0}^{n}k!(k+1)^2-k!k\\=\sum_{k=0}^{n}(k+1)!(k+1)-k!k=(n+1)!(n+1)-0=(n+1)!(n+1)$


#444282 $f(x) \vdots g(x) \Leftrightarrow b = 1$

Gửi bởi robin997 trong 20-08-2013 - 16:44

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:
$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

+Với các nghiệm khác $0$ $(b\neq 0)$
- Ta có: $f(x)\vdots g(x)\Leftrightarrow f(z)=0$ ( Với $z$ là một nghiệm bất kì của $g(x)$ )
- Nhận xét: $g(x)$ là đa thức bậc $3$ với $g'(x)=3x^2+2x+1=2x^2+(x+1)^2>0\forall x$,
$g(x)$ có 1 nghiệm thực $z_1$ và 1 cặp nghiệm phức liên hợp $z_2$ và $\bar{z_2}$
- Trở lại bài toán, xét nghiệm $z$ của $g(x)$ và để ý $n$ là số chẵn nguyên dương:
$(1)$ $g(z)=z^3+z^2+z+b=0\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n=b^n$
$(2)$ $f(z)=(z^2+z+1)^n-z^n-a=0\\\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n-z^{2n}-az^n=0\\(3)\Leftrightarrow -z^{2n}-az^n+b^n=0$
- Xét $(3)$ là phương trình bậc hai theo biến $z^n$, $a_{(3)}c_{(3)}=-b^n\le 0$ ( $n$ chẵn )
Mọi nghiệm $z^n$ của phương trình $(3)$ luôn là số thực , áp dụng cho cả $z$ phức!
- Theo định lý Viète cho phương trình $(1)$: $z_1 z_2 \bar{z_2}=-b\Leftrightarrow z_1^n z_2^n \bar{z_2}^n=z_1^nz_2^{2n}=(-b)^n=b^n (*)$
- Xét $z_1^n$ và $z_2^n$ phân biệt, ta có 2 nghiệm của $(3)$, theo định lý Viète: $z_1^n z_2^n=-b^n(**)$ và $z_1^n+z_2^n=-a$
- Giải $(*)$ và $(**)$, ta có $z_2^n=-1$ và $z_1^n=b^n$; Thế vào $z_1^n+z_2^n=-a=b^n-1=3a\Leftrightarrow a=0$
Và $b^n=1\Leftrightarrow b=\pm 1$, kết hợp điều kiện nghiệm thực $z_1^n=b^n$, ta có $b=1$
- Với $z_1^n=z_2^n$
, kết hợp với $(*)$, $z_1^{3n}=b^n\Leftrightarrow \pm \sqrt[3]{b}= z_1$
- Thế lại $(1)$, ta có : $2(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$ hoặc $(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$
Với $b\neq 0$, có $b=1$ !
+Tồn tại nghiệm $0$: $b=0$
-Tương tự, ta lập $(2)$ với nghiệm $0$: $1-a=0\Leftrightarrow a=1$
Lại có $b^n=3a+1$ theo giả thuyết, mâu thuẫn ...
_________
Như vậy, ta có $b=1$


#442779 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

Gửi bởi robin997 trong 14-08-2013 - 15:12

$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2} \epsilon R$ và $z \epsilon \mathbb{C}$ trừ $\mathbb{R}$


$\frac{1+z+z^2}{1-z+z^2}=u \in R\\\Leftrightarrow \frac{2}{u-1}\in R$
Hay $z+\frac{1}{z}\in R\\\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\\\Leftrightarrow (z-\bar{z})(1-\frac{1}{z\bar{z}})=0$
Với $z\in C/ R$, ta có $z\bar{z}=1, z\not{\in} R$, quỹ tích $z$ là đường tròn đơn vị bỏ 2 điểm $1$ và $-1$

:')


#442227 Giải phương trình đạo hàm riêng $(x^{2}+y^{2})dx+(2x...

Gửi bởi robin997 trong 12-08-2013 - 16:07

Giải phương trình đạo hàm riêng $(x^{2}+y^{2})dx+(2xy+cosy)dy=0$
<_<

...
$(x^{2}+y^{2})dx+(2xy+cosy)dy=0\\\Leftrightarrow \frac{(x^2+y^2)dx}{dy}+2xy+cosy=0\\\Leftrightarrow y^2\frac{dx}{dy}+\frac{dy^2}{dy}x+x^2\frac{dx}{dy}+\frac{d(siny)}{dy}=0\\\Leftrightarrow \frac{d(xy^2+\frac{x^3}{3}+siny)}{dy}=0\\\Leftrightarrow xy^2+\frac{x^3}{3}+siny=C$
( $C$ là hằng số )


#441537 Giải phương trình vi phân $(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0$

Gửi bởi robin997 trong 09-08-2013 - 16:53

Giải phương trình vi phân $(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0$

$(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0\\\Leftrightarrow (x-y+4)\frac{dy}{dx}+x+y-2=0\\\Leftrightarrow (2x+8)\frac{dy}{dx}+2y-2y \frac{dy}{dx}=4-2 x\\\Leftrightarrow \frac{d((2x+8)y)}{dx}-\frac{d(y^2)}{x}=\frac{d((2x+8)y-y^2)}{dx}=4-2x$
Theo đó: $(2x+8)y-y^2=4x-x^2+k$ Hay $x^2-y^2+2xy+8y-4x-k=0$

:'P