robin997

Bài toán. Giải phương trình: $ - 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28 = 16\left( {x - \sqrt {x - 2} } \right)(*)$

THTT

-Ta có:
$VT=-x^2(4x-9)^2+28 \leq 28$
$VP=16(x - \sqrt{x-2})\\=16(x-2-\sqrt{x-2}+0,25+1,75)\\=16[(\sqrt{x-2}-0,5)^2+1,75] \geq 28$
Hay $VT \leq VP$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=9/4$
Và đó là nghiệm của phương trình.

Cho $f:R \rightarrow R$ thỏa:
$f(x)+f(5x)=\frac{0,5}{x-0,5}$
( $x \in R$\{0,5} )
Tìm hàm f ?
___________
Đây kết quả, một phương trình 'lạ'... sau một hồi chuẩn hóa một phương trình hàm đơn giản trong 'Các phương pháp giải phương trình hàm' (không biết tác giả).

Tưởng bài này mới, Google thì mới biết là đã có từ năm ngoái (mà sao mình không biết nhỉ )

Đáp án bằng $9$ là đúng rồi.

Bây giờ, mời các bạn thảo luận xem, phép tính sau cho kết quả bao nhiêu: $6\div 2\sqrt{9} = ?$

Hì...mình nghĩ là $2\sqrt{9}$ đi chung nó bản thân là một số _ số 6.
Nên đáp án là $6:6=1$

Hình như không được bạn à !
$u=-4,162419961$
Khi đó $\sqrt{-3u^2+24u-4}=\sqrt{-155,8752988}$
Như vậy lại không có nghiệm thực !
_______________
Trong khi đó có nghiệm $(0,145220472850845;0,256929015237184)$ mà @
________________
Bạn nên xem cài này: http://www.wolframal...3 = x^2+7*y^2-y

Srr..mình lộn, đã sửa ở trên ^^,

...

Hình như bạn Hoàng có nhầm lẫn thì phải, đâu phải nghiệm xấu là đề sai. Để ý 2 nghiệm cuối của hệ, chúng là hoán vị của nhau, rõ ràng chúng lại là nghiệm của một hệ đối xứng loại một suy ra từ hệ đầu! ^^,"

$\begin{cases}
& \ x^3=y^2+7x^2-x \\
& \ y^3=x^2+7y^2-y
\end{cases}$

-Rõ ràng trừ theo vế, ta suy ra được hoặc $x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2-6x-6y+1=0$
-Với $x=y$ thì dễ rồi, bạn tự tính nhá :")
-Với $x^2+xy+y^2-6x-6y+1=0$ , ta hợp phương trình này với một phương trình khác tạo bằng cách cộng theo vế 2 phương trình của hệ đầu:
$\begin{cases}
& \ x^2+xy+y^2-6x-6y+1=0 \\
& \ x^3+y^3-8x^2-8y^2+x+y=0
\end{cases}$
Đấy là hệ đối xứng loại 1, đặt S; P, ta được:
$\begin{cases}
& \ P=S^2-6S+1 \\
& \ S^3-13S^2+49S-8=0
\end{cases}$
(Giải phương trình bậc ba người ta đã hướng dẫn trong sách rồi nên mình sẽ không làm lại hen :`)
...và rõ ràng hệ này cho 2 nghiệm theo Viète
Vậy hệ cho 5 nghiệm:
$(x;y)=(0;0);(4+\sqrt{15};4+\sqrt{15});(4-\sqrt{15};4-\sqrt{15});(\frac{u+\sqrt{-3u^2+24u-4}}{2};\frac{u-\sqrt{-3u^2+24u-4}}{2});(\frac{u-\sqrt{-3u^2+24u-4}}{2};\frac{u+\sqrt{-3u^2+24u-4}}{2})$
Với $u=\sqrt[3]{\frac{\frac{-1123}{27}+\frac{\sqrt{135393}}{9}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{-1123}{27}-\frac{\sqrt{135393}}{9}}{2}}+13/3$

Bài toán.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=5$.Chứng minh rằng
$$A=a^2b+c^2a+2abc\leq 20$$

Thế $c=a+x$ và $b=5-2a-x$
Khi đó:
$A=x^2(-a)+x(-5a^2+10a)-5a^3+15a^2$
Với (-a) âm, do đó, A đạt max khi $x=-2,5a+5$
$A=1,25a^3-10a^2+25a$
-Xét đồ thị hàm: ©:$y=1,25x^3-10x^2+25x$
$x:-\infty \rightarrow 2 \Rightarrow y:-\infty \rightarrow 20\\ x:2 \rightarrow 10/3 \Rightarrow y:20 \rightarrow 500/27 \\x: 10/3 \rightarrow +\infty \Rightarrow y:500/27 \rightarrow +\infty$
Xét giới hạn của a khi này ($0<a<10/3$)
Nên $A_{max} = 20$ Khi: $(a;b;c)=(2;1;2)$
Ta có đpcm

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0(*)$$

Một cách giải khác thông qua đồ thị hàm số, không hề THCS:
-Lại lấy $a=\sqrt{x-1}$($a$không âm)
$(*)\Leftrightarrow a^2-3=m(2a-1)$
-Rõ ràng $a=0,5$ không là nghiệm, nên ta có:
$m=\frac{a^2-3}{2a-1}=0,5a+0,25-\frac{2,75}{2a-1}$
-Xét đường thẳng $(d):y=m$ và đường cong: $©:y=f(x)=0,5x+0,25-\frac{2,75}{2x-1}$
Mà $f'(x)=0,5+\frac{5,5}{(2x-1)^2}>0$
-Với 2 đường tiệm cận là $y=0,5x+0,25$ và $x=0,5$ ta có đồ thị của $©$ như sau:
$x:-\infty \rightarrow 0,5\Rightarrow f(x):-\infty \rightarrow +\infty
\\ x:0,5\rightarrow +\infty \Rightarrow f(x):-\infty \rightarrow +\infty$
-Với $f(0)=3$ , ta có đề thỏa khi và chỉ khi $(d)$ và $©$ cắt nhau tại 2 điểm nằm trên 2 phía của trục $Oy$, hoặc một điểm trên trục và điểm kia nằm về phía âm
Hay $m<3$
Đáp số: $m<3$

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

Mình mở rộng bài hen:
Tìm $a;b;c$ để phương trình sau có đúng một nghiệm:
$x-a\sqrt{x-b}-b+c=0(*)$
Đặt $y=\sqrt{x-b}$
$(*)$ tương đương:
$y^2-ay+c=0(**)$
Giải tương tự trên, ta có $(*)$ có 1 nghiệm khi và chỉ khi $(**)$ có đúng một nghiệm không âm, hoặc nghiệm kép dương:
Hay $c<0$ Hoặc $\begin{cases}
& \ c=0 \\
& \ a\leq 0
\end{cases}$
Hoặc $\begin{cases}
& \ a^2-4c= 0 \\
& \ a>0
\end{cases}$
(Với mọi $b$)

Định m để pt sau có đúng 1 nghiệm

$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

Giải khác theo Viète:
-Đặt $a=\sqrt{x-1}$ ($a \geq 0$)
$(*)\Leftrightarrow a^2-2ma+m-3=0(**)$
Ta có: $\Delta '=m^2-m+3=(m-0.5)^2+2,75>0$
$(**)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt
-Để $(*)$ có 1 nghiệm thì $(**)$ phải có 1 nghiệm là nghiệm không âm.
+$(**)$ có 1 nghiệm 0 và nghiệm còn lại âm:
$\begin{cases}
& \ S< 0 \\
& \ P=0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}
& \ m<0 \\
& \ m=3
\end{cases}\Rightarrow m \in \phi $
+$(**)$ có 2 nghiệm trái dấu:
$P<0\Leftrightarrow m<3$
Vậy m thỏa đề: $m<3$

[font="times new roman, , times, serif}"]..[/font]

Srr..mình làm lộn..mình có sửa ở trên, bạn xem thử nha ^^,

... (^^, )

Mình dùng phương pháp của anh get hen ^^~
-Lấy $x=1-a;y=1-b;z=1-c \Leftrightarrow x+y+z=2$
$A=x^{-k}+y^{-k}+z^{-k}$
($x;y;z$ không âm)
-Phương trình đầu tương đương:
$x^{-k}+y^{-k}+z^{-k}\geq \frac{3^{k+1}}{2^k} (*)$
-Lập hàm với 3 biến $x;y;z$:
$L=x^{-k}+y^{-k}+z^{-k}+\lambda (x+y+z-2)$
-Điểm cực trị của A sẽ thỏa:
$x^{-k-1}+\lambda = y^{-k-1}+\lambda =z^{-k-1}+\lambda $
+Xét $k=-1$ ,$(*)$ hiển nhiên đúng.
+Xét $k$ khác $(-1)$ , vì $x;y;z$ không âm nên điểm cực trị của $A$ thỏa: $x=y=z=2/3$
-Giá trị A lúc này là: $A=\frac{3^{k+1}}{2^k} $
+Xét $k>0$:
Lấy $z$ tiến đến 0 và $(x+y)$ tiến đến 2, giá trị $A$ lúc này tiến đến vô cực nên hiển nhiên lớn hơn $A(2/3;2/3;2/3)$ ,$(*)$ thỏa!
+Xét $k=0$ , $(*)$ hiển nhiên đúng
+Xét $k<0$, lấy $k=-h$ (Với $h$ nguyên dương khác 1)
$A(1;1;0)=2$
Để $(*)$ thỏa hay $A(2/3;2/3;2/3)$ là min thì:
$A(1;1;0)>A(2/3;2/3;2/3)$
Tương đương: $3^{h-1}>2^{h-1}$
Thỏa khi $h-1>0$ hay $h>1\Leftrightarrow k<-1$
Vậy đề thỏa khi: $k\geq 0$ hoặc $k\leq -1$

Xét hàm số $f(x)=ln(1+x)$ với x dương $\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{1+x}\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}<0$
Suy ra hàm số lõm. Áp dụng BĐT Jensen ta được:
$$f(c_1)+f(c_2)+...+f(c_n)\leq nf(\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n})$$
$$\Leftrightarrow ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+...+ln(1+c_n)\leq n.ln\left ( 1+\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n} \right )$$
$$\Leftrightarrow (1+c_1)(1+c_2)...(1+c_n)\leq \left ( 1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_n}{n} \right )^n$$

Jensen cho hàm này thực chất là cm lại BĐT AM-GM...tại sao không dùng trực tiếp luôn nhỉ ^^,

Tìm các nguyên hàm sau:
$ \large I= \int \dfrac{x^{5}}{x^{6}-x^{3}-2}dx$
$\large J= \int\dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+6}dx$
$\large Q= \int\dfrac{dx}{x(x^{10}+1)}$

Bài 1:
-Lấy $a=x^3\Leftrightarrow da=3x^2dx$
Ta có :
$3I=\int \frac{a.da}{(a-2)(a+1)}\\=\int \left(\frac{2}{3}. \frac{1}{a-2}+\frac{1}{3}.\frac{1}{(a+1)} \right)da\\=\frac{2}{3}ln\left|a-2 \right|+\frac{1}{3}ln\left|a+1 \right|\\\Rightarrow I=\frac{2}{9}ln\left|x^3-2 \right|+\frac{1}{9}ln\left|x^3+1 \right|$
Bài 2:
$J= \int\dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+6}dx\\=\int \frac{x^2-x+1}{x^2-6x+6}dx=x+5\int \frac{x-1}{x^2-6x+6}dx$
-Lấy $b=x-3\Leftrightarrow db=dx$
Ta có :
$J=x+5\int \frac{b+2}{b^2-3}db\\=x+5\int \left(\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{b+\sqrt{3}}{+\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{b-\sqrt{3}}} \right)\\=x+5\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)ln\left| x+\sqrt{3}-3\right|+5\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)ln\left| x-\sqrt{3}-3\right|$
Bài 3:
-Lấy $x^{10}=c\Leftrightarrow 10x^9dx=dc$
-Ta có :
$10Q=\int \frac{dc}{c(c+1)}=\int \left(\frac{1}{c}-\frac{1}{c+1} \right)dc=ln\left|c \right|-ln\left|c+1 \right|$
Hay $Q=\frac{lnx^{10}-ln(x^{10}+1)}{10}$
__________________________
PS: sao không ai giải PSW lần trước nhỉ~~~

Bài toán .Tích phân :
$Z = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{xcos^{4}(\pi -x)}{cos^{4}(x-\frac{3\pi }{2})+sin^{4}(x+\frac{3\pi }{2})-1}dx$

Bài này trước nhá bợn Tk ^^,~
-Tính nguyên hàm trước hen: Lấy
$I=\int \frac{xcos^{4}(\pi -x)}{cos^{4}(x-\frac{3\pi }{2})+sin^{4}(x+\frac{3\pi }{2})-1}dx=\frac{-1}{2} \int(xcot^2x)dx $
-Đặt $da=cot^2xdx\Leftrightarrow a=-cotx-x$
-Khi đó:
$\Rightarrow (-2)I=x(-cotx-x)+\int x.dx+\int cotx.dx\\=-\frac{x^2}{2}-xcotx+ln \left| sinx\right| +c$
...Có nguyên hàm rồi thì thế vào mà tính nhỉ~~~ :")

Bài 1: Cho dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{1}=\sqrt{2015}$ và $v_{n+1}=v_{n}^{2}-2$ với mọi n không nhỏ hơn 1. CMR $lim \frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=2011$
Bài 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{4n+1}{2^{n}}$. Thành lập dãy số $(s_{n})$ với $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$. Tìm lim $s_{n}$.
Tạm 2 bài đã. Mọi người hướng dẫn mình hướng suy luận luôn nhé. Mấy bài tính lim tổng mình nghĩ thường tính $s_{n+1}-s_{n}$ rồi tách thành những phần tử có thể triệt tiêu khi cộng vế, còn bài này khó tách quá

Bài 2 thế này nhá bạn ^^,
-Ta sẽ tìm thẳng công thức của $s_n$ (bởi bài chẳng cho dữ liệu nào đặc biệt cả :")
-Bắt đầu bằng lập công thức truy hồi hen:
$s_n=s_{n-1}+(4n+1)2^{-n}$
-Lấy $s_n=2^{-n}p_n\\\Rightarrow p_n=2p_{n-1}+4n+1$
-Đến đây tính $p_n$ rồi thế lại tính $s_n$ hen.
$\left(s_n=9+(4n+9)2^{-n}=9+\frac{4n+9}{2^n} \right)$
Nên:
$\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}(9+\frac{4n+9}{2^n})=9+\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{4n+9}{2^n}=9$