robin997

Tìm hàm $f:N^*\rightarrow N^*$ thỏa các điều kiện sau:
$i)$ $f(1)=2$ ; $f(2)=4$
$ii)$ $f(2n+1)-f(2n)=f(2n)-f(2n-1)=f(n)$ ($\forall n\in N^*$)

mình làm thế này đc k
thay x=y ta đc: f($x^{2}$)f(2x)=1
thay x=y=2 ta đc f(4)=4.
thay $y=\frac{4}{x}$ ta đc f(x+$\frac{4}{y}$)=1
chứng minh giốg bạn, ta đc f(x)=f(x+2)
xét x$\geq$2, thay x=$x+\sqrt{x^2-4}$
ta đc f(2x)=1 nên f($x^{2}$)=1 =>f(x)=1 với x>=2. kết hơp với f(x)=f(x+2) nên f(x)=1với mọi x thuộc R.
bạn kiểm tra giùm mình cách này nha

tìm tất cà các hàm số: $R^{+} \to R^{+}$ thỏa:
$f(xy)f(x+y)=1(^*)$

-Trong $(*)$, lấy $y=\frac{1}{x}$ và cho $x$ chạy trên $R^+$, có:
$f(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{f(1)}$
Do tập giá trị của $x+\frac{1}{x}$ khi $x$ chạy trên $R^+$ là $[2;+\infty)$
Nên: $f(n)=a\forall n\geq 2$ (Với a là hằng số) $(1)$
-Trong $(*)$, lấy $x=n\in R^+$ và $y=1$:
$f(n)f(n+1)=1$
-Trong $(*)$, lấy $x=n+1(n\in R^+)$ và $y=1$:
$f(n+1)f(n+2)=1$
Nên: $f(n)=f(n+2)\forall n\in R^+$ $(2)$
$(1)$ và $(2)$, có: $f(n)=a\forall n\in R^+$
Thế lại được $a=1$.
Tóm lại: $f(x)=1$

Tìm công thức tổng quát của dãy ${a_k}$ thỏa:
$\begin{cases}
& \ a_1=1 \\
& \ a_2=2 \\
& \ a_{2k+1}=a_{2k} \\
& \ a_{2k}=a_{2k-2}+a_k
\end{cases}$

Tính tổng $A=(1^2+1+1)!+(2^2+2+1)!+...+(n^2+n+1)!$
_____~~__
Mấy mod sửa dùm mình cái tiêu đề nha... (mình không biết cách sửa)
------------
Đã sửa hộ béo

$\left | \frac{^{x^{2}+2x+1}}{1-x} \right |=K^{4}-2K^{3}-3K^{2}+8K+4$.tim`K để có 4 nghiệm phân biệt

-Xét $f(x)=\left | \frac{^{x^{2}+2x+1}}{1-x} \right |$
Với $x_1>1$:
$f(x_1)=\frac{^{x_1^{2}+2x_1+1}}{x_1-1}\\\Rightarrow f'(x_1)=\frac{(x_1+1)(x_1-3)}{(x_1-1)^2}$
$f'(x_1)=0\Leftrightarrow x_1=3$
Với $x_2<1$
$f(x_2)=\frac{^{x_2^{2}+2x_2+1}}{1-x_2}\\\Rightarrow f'(x_2)=\frac{(x_2+1)(3-x_2)}{(x_2-1)^2}$
$f'(x_2)=0\Leftrightarrow x_2=-1$
Và cũng có được $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=+\infty$
Lập bảng biến thiên, ta có giá trị của f(x):
$x:-\infty \rightarrow -1 \rightarrow 1 \rightarrow 3 \rightarrow +\infty$
$f(x):+\infty$ xuống $0$ lên $+\infty$ và $+\infty$ xuống $8$ lên $+\infty$
Bài toán quy về:
Tìm $K$ để $K^{4}-2K^{3}-3K^{2}+8K+4>8$
$ĐPCM\Leftrightarrow (K-2)(K+2)(K-1)^2>0$
Nên: $K<-2$ hoặc $K>2$
PS:..hình như bạn đặt sai box rồi thì phải,sai tiêu đề nữa ...

Giải pt: $4x^2+51=40\left \lfloor x \right \rfloor$

Ta có điều kiện có nghiệm:
$x-1<\frac{4x^2+51}{40}\leq x$
Giải điều kiện, ta có: $1,5\leq x<3,5$ hoặc $6,5< x\leq 8,5$
Nên:

$\left \lfloor x \right \rfloor \in ${1;2;3;6;7;8}
Thế vào từng giá trị, giải và thử lại, ta có tập nghiệm của phương trình:
$S=${$\frac{\sqrt{29}}{2};\frac{3\sqrt{21}}{2};\frac{\sqrt{229}}{2};\frac{\sqrt{269}}{2}$}

Giải pt:
$\left\{\begin{matrix} 0\leq x< 2\pi (*)\\ 2^{1+3\cos x}-10.2^{-1+2\cos x}+2^{2+\cos x}-1=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $2^{cosx}=a\Leftrightarrow cosx=lg_2a$, phương trình trở thành:
$2a^3-5a^2+4a-1=0\\\Leftrightarrow (2a-1)(a-1)^2=0$
$\Rightarrow a=0,5$ Hoặc $a=1$
Suy ra: $cosx=0$ hoặc $cosx=-1$
Theo điều kiện $(*)$, ta có: $x=\pi $ hoặc $x=3\pi /2$ hoặc $x=\pi /2$
Và đây cũng là nghiệm của phương trình!

Cho 8 quân xe đặt ngẫu nhiên trên một bàn cờ vua, tính số cách đặt để không một quân xe nào bị tấn công bởi các con khác.

Chia bàn cờ làm 8 hàng, 8 cột.
Xét cách đặt lên các hàng:
-hàng đầu: có 8 cách
-Đặt lên hàng thứ 2, phải không cùng cột với quân trước: có 7 cách.
Tương tự các hàng còn lại.
Theo quy tắc nhân, ta có tổng cộng: $8!=40320$ cách xếp thỏa đề bài.

Tìm tất cả các tập con khác rỗng A, B, C của tập các số nguyên dương $Z^{+}$ thỏa:
(1): $A\cap B=B\cap C=C\cap A= \varnothing$
(2): $A\cup B\cup C=Z^{+}$
(3): Với mọi $a\in A,b\in B,c\in C$, ta có $a+c\in A, b+c\in B, a+b\in C$

Bài này bạn để ý sẽ thấy thấy cái quy tắc về số dư chia cho 3 nằm ở đề bài:
i) Dư 2 +dư 1 thì chia hết
ii) Chia hết + dư 1 thì dư 1
iii) Chia hết + dư 2 thì dư 2
Dư đoán: C là tập chia hết và B, C là 2 tập chia có dư:
-Xét $1\in C$, xét $a\in A$ $b\in B$, WLOG, ta có thể giả sử $a>b$
Khi đó theo điều kiện $(3)$ , ta có $B\bigcap A=A$, mâu thuẫn với $(1)$
Do đó $1\notin C$,WOLG, giả sử $1\in A$
-Xét tiếp $2\in C$
Từ $(3)$:
+$1+2=3\in A$
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+2\in B$ $\rightarrow b+4\in B$ $\rightarrow b+6\in B$
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+3\in C$ $\rightarrow b+6\in C$
Mâu thuẫn với $(1)$!
-Nếu cũng có $2\in A$:
+Với $b$ bất kì thuộc B $\rightarrow b+1,b+2\in C$ $\rightarrow b+1+1=b+2\in A$
Mâu thuẫn với $(1)$!
-Nên khi này có $2\in B$
Suy ra $3\in C$
$\rightarrow 1+3k\in A$ và $\rightarrow 2+3k\in B$
Theo $(1)$ và $(2)$, ta có: $3k\in C$ ($k\in N*$)
Tóm lại, có 2 TH xảy ra:
C là tập số nguyên dương chia hết cho 3 , A là tập số nguyên dương chia 3 dư 1, B là tập số nguyên dương chia 3 dư 2
Hoặc C là tập số nguyên dương chia hết cho 3 , A là tập số nguyên dương chia 3 dư 2, B là tập số nguyên dương chia 3 dư 1

..hay mà ^^~

Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$
$U_{n}=\dfrac{f(1)f(3)...f(2n-1)}{f(2)f(4)...f(2n)}, n\in N$
Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim} n\sqrt{U_{n}}$

[font='times new roman', ', times, serif} ']Đặt $f(n)=(n^2+n+1)^2+1$[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']$U_{n}=\dfrac{f(1)f(3)...f(2n-1)}{f(2)f(4)...f(2n)}, n\in N$[/font]
[font='times new roman', ', times, serif} ']Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim} n\sqrt{U_{n}}$[/font]

Để ý $f(n)$ một tí, ta sẽ có kết quả ^^
Ta có:
$f(n)=(n^2+n+1+i)(n^2+n+1-i)=(n+i)(n+1-i)(n-i)(n+1+i)=h(n)h(n+1)$
Với $h(n)=(n+i)(n-i)=n^2+1$
Theo đó:
$U_n=\frac{h(1)}{h(2n+1)}=\frac{2}{4n^2+4n+2}=\frac{1}{2n^2+2n+1}$
Nên:
$I=limn\sqrt{U_n}=lim\sqrt{\frac{n^2}{2n^2+2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{lim2+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{\sqrt2}{2}$

Đăng cho chú dow chứ để mất ^^

Câu 1:
$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4-2x^6=y^4\\ 1+\sqrt{1+x^2+y^2-2xy}=x^3(x^3-x+2y^2)

\end{matrix}\right.$

Câu 1:
Trừ theo vế phương trình trên cho phương trình dưới, ta có:
$\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}-\sqrt{1+x^2+y^2-2xy}=y^4+x^6-2x^3y^2+1\\\Leftrightarrow (x^3-y^2)^2+1+\sqrt{1+(x-y)^2}-\sqrt{4-(x^2y-1)^2}=0$
Có $VT\geq 0+1+1-2=VP$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$
Thế lại, thỏa hệ phương trình.
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(1;1)$

Giải pt:
$\sqrt{1-sinx}+\sqrt{1-cosx}=1$

Bình phương 2 vế phương trình đầu, ta được phương trình tương đương:
$1-\sin x-\cos x+2\sqrt{1-\sin x-\cos x+\sin x\cos x}=0(1)$
Lấy $\sin x+\cos x=a$, được $\sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2}$
$(1)\Rightarrow 1-a+\sqrt{2} la-1l=0\Rightarrow a=1$
Khi đó: $\sin x\cos x=0$
Suy ra: $x=k\pi$ (Với $k\in Z$)
Thế lại, thỏa. Ta có nghiệm phương trình.