Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


robin997

Đăng ký: 02-08-2012
Offline Đăng nhập: 31-07-2019 - 06:01
****-

Chủ đề của tôi gửi

Putnam 2014

09-12-2014 - 15:10

William Lowell Putnam Mathematical Competition 2014 (06/12/2014)

Phần A

Bài 1: Chứng minh rằng tất cả các hệ số của chuỗi Taylor hàm $(1-x+x^{2})e^{x}$ tại $x=0$ đều là các số hữu tỉ với tử số (sau khi rút gọn) bằng $1$ hoặc một số nguyên tố.

Bài 2: Cho $A$ là một ma trận vuông $n\times n$ có các phần tử ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ là:
$$\frac{1}{\min(i,j)}$$
với $1\le i,j\le n$. Tính $det(A)$.

Bài 3: Cho $a_0=\frac{5}{2}$ và $a_{k}=a^2_{k-1}-2$ với $k\ge 1$. Tính
$$\prod^{\infty}_{k=0}\left( 1-\frac{1}{a_k}\right)$$

Bài 4: Lấy $X$ là một biến số ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên không âm, với $E[X]=1$, $E[X^2]=2$, và $E[X^3]=5$. (Ở đây, $E[Y]$ ký hiệu cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên $Y$.) Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của xác suất tại biến cố $X=0$.

Bài 5: Cho $P_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$. Chứng minh rằng các đa thức $P_j(x)$ và $P_k(x)$ nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương $j$ và $k$ sao cho $j\ne k$.

Bài 6: Cho $n$ là một số nguyên dương. Xác định $k$ lớn nhất mà tại đó, tồn tại các ma trận vuông $n\times n$: $M_1,\dots,M_k$ và $N_1,\dots,N_k$ với các phần tử thực sao cho tồn tại một phần tử $0$ trên đường chéo chính của ma trận tích $M_iN_j$ khi và chỉ khi $i\ne j$?

Phần B

Bài 1: Ta định nghĩa trong cơ sở $10$ một 'khai triển thừa' của số nguyên dương $N$ là biểu thức $N=d_k10^k+d_{k-1}10^{k-1}+\cdots+d_0 10^0$, trong đó, $d_i\in [0,10]\forall i$ và $d_k\neq 0$. Ví dụ, số nguyên $N=10$ có hai khai triển thừa trong cơ sở $10$: $N=10\cdot 10^0$ và khai triển thông thường, $N=1\cdot 10^1+0\cdot 10^0$. Số nguyên dương nào chỉ có duy nhất một khai triển thừa trong cơ sở $10$?

Bài 2: Lấy $f$ là một hàm trên khoảng $[1,3]$ sao cho $-1\le f(x)\le 1$ với mọi x và $\int_1^3f(x) dx=0$. Giá trị lớn nhất của $\int_1^3\frac{f(x)}x dx$ là bao nhiêu?

Bài 3: Cho $A$ là một ma trận $m\times n$ với các phần tử hữu tỷ. Giả sử rằng có ít nhất $m+n$ số nguyên tố phân biệt trong số các trị tuyệt đối của các phần tử của $A$. Chứng minh rằng hạng của ma trận $A$ không bé hơn $2$.

Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, mọi nghiệm của đa thức
$$\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)}x^k$$
đều là các số thực.

Bài 5: Tại cuộc thi Putnam hàng năm lần thứ $75$, những người tham gia cạnh tranh trong các trò chơi toán học. Patniss và Keeta chơi một trò chơi mà tại đó họ lần lượt chọn ra một từ nhóm các ma trận vuông khả nghịch cấp $n$ với các phần tử trong trường $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ($n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố cho trước). Các luật của trò chơi gồm:

(1) Một người không thể chọn một ma trận đã được chọn trong bất kỳ lượt trước nào.

(2) Một người chỉ có thể chọn một ma trận $A$ sao cho $A$ giao hoán với tất cả các ma trận đã được chọn bởi hai người trong các lượt trước.

(3) Người nào không thể tiếp tục chọn thỏa mãn các yêu cầu trên thì thua.

Biết Patniss chọn lượt đầu tiên, ai là người có chiến thuật có thể bảo đảm thắng?

Bài 6: Cho $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ là một hàm số sao cho tồn tại một hằng số $K>0$ thỏa mãn $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ với mọi $x,y\in [0,1]$. Giả sử rằng với mỗi số hữu tỷ $r\in [0,1]$, cũng tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $f($$r$$)=a+br$. Chứng minh rằng có hữu hạn các khoảng $I_1,\dots,I_n$ sao cho $f$ là một hàm tuyến tính trên $I_i$ và $[0,1]=\bigcup_{i=1}^nI_i$.


USA NIMO (Monthly Contest #15)

16-09-2014 - 15:54

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)
 

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh: $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?



nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?
(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chug nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren


USA NIMO (Monthly Contest #15)

16-09-2014 - 15:50

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren


China Girls Math Olympiad 2014

05-09-2014 - 15:59

China Girls Math Olympiad 2014

 

Ngày 1: 12/08/2014

Bài 1. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ giao nhau tại $A, B$. Ta kéo dài đường $O_1 A$, cắt $(O_2)$ tại C; kéo dài đường $O_2 A$ và cắt $(O_1)$ tại $D$. Qua điểm $B$, ta vẽ đường thẳng song song với $O_2 A$, cắt $(O_1)$ tại điểm thứ hai là $E$. Chứng minh rằng nếu $DE \parallel O_1A$ thì $DC \perp CO_2$.

cgmo%202014%20p1.jpg


Bài 2. Cho dãy các số thực $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, trong đó, $n\ge 2$ là một số nguyên; và $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor$ là một hoán vị của $1,2,\ldots,n$.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$
(Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ được dùng là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Bài 3. Trong một lớp học có $n$ học sinh: mỗi học sinh quen với đúng $d$ bạn nữ và $d$ bạn nam ("quen" là một quan hệ hai bên). Tìm tất cả các cặp $(n,d)$ thỏa mãn cho lớp học đó.

Bài 4. Với mỗi số nguyên $m\geq 4$, Ta lấy $T_{m}$ là số các dãy số $a_{1},\dots,a_{m}$ sao cho các mệnh đề sau được thỏa mãn:
(1) $a_{i}\in \{1,2,3,4\}$ $\forall i=\overline{1,m}$
(2) $a_{1} = a_{m} = 1$
(3) Các số $a_{i}$, $a_{i-1}$ và $a_{i-2}$ là phân biệt với mọi $i=\overline{3,m}$

Chứng minh rằng tồn tại một cấp số nhân gồm các số nguyên dương $\{g_{n}\}$ sao cho với $n\geq 4$ ta có
$$g_{n} - 2\sqrt{g_{n}} < T_{n} < g_{n} + 2\sqrt{g_{n}}$$.

Ngày 2: 13/08/2014

Bài 5. Cho $a$ là một số nguyên dương, nhưng không chính phương; $r$ là một nghiệm thực của phương trình $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh rằng $r+\sqrt{a}$ là một số vô tỉ.

Bài 6. Cho tam giác nhọn $ABC$: $AB > AC$. Lấy $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCE$ tại điểm thứ hai là $P$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ tại điểm thứ hai là $Q$. Chứng minh rằng $AP = AQ$.

Bài 7. Với một tập hợp $X$ khác rỗng gồm hữu hạn các số thực, ta định nghĩa hàm $f(X) = \frac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$, trong đó, $\left\lvert X \right\rvert$ là số các phần tử của $X$. Với các cặp tập hợp có sắp xếp $(A,B)$ sao cho $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ và $A\cap B = \emptyset$ $\left( 1\leq |A| \leq 98\right) $, ta chọn một số $p\in B$ bất kỳ, và lấy $A_{p} = A\cup \{p\}$ và $B_{p} = B - \{p\}$. Trong tất cả các cặp $(A,B)$ và $p\in B$, hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B))$.

Bài 8. Cho $n$ là một số nguyên dương, và tập hợp $S$ gồm tất cả các giá trị nguyên tố cùng nhau với $n$ trong $\{1,2,\dots,n\}$.
Ta định nghĩa các tập hợp $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$, $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$, $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$.
Chứng minh rằng nếu số các phần tử của $S$ là một bội số của $3$ thì $S_1, S_2, S_3$ có cùng một số các phần tử.

 

--- Hết ---


Cono Sur Olympiad 2014

23-08-2014 - 17:44

cono%20sur.png


Cono Sur Olympiad 2014

 
Ngày 1: 18/08/2014
 
Bài 1. Ta viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.

Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.

Bài 2. Một cặp số $(a,b)$ được gọi là charrúa nếu tồn tại một số nguyên dương $c$ sao cho cả hai $a+b+c$ và $a\times b\times c$ đều là các số chính phương; Nếu không có số $c$ thỏa mãn, ta gọi cặp số đó là no-charrúa.

a) Chứng minh rằng ta có thể có vô số các cặp số no-charrúa.
b) Chứng minh rằng tồn tại vố số các số $n$ sao cho cặp $(2,n)$ là charrúa.

Bài 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và một điểm $P$ nằm ngoài sao cho $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ và diện tích của ngũ giác $ABPCD$ bằng với $AB^{2}$.

Chứng minh rằng $ABPCD$ có thể được chia làm $3$ mảnh bằng các đường cắt thẳng sao cho ta có thể dựng được một hình vuông từ $3$ mảnh đó mà không để lại lỗ trong hình vuông và các miếng đó không được chồng lên nhau.

(Các mảnh đó có thể được dịch chuyển, quay hay lật ngược lại để tạo thành hình vuông).
 
 
Ngày 2: 19/08/2014

Bài 4. Hãy chỉ ra rằng $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ không phải là một số nguyên tố, trong đó, $n$ là một số nguyên dương.

Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$, với điểm đó nằm trong $ABCD$ và $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E$. Ta vẽ các đường thẳng $r$ và $s$ qua $E$ sao cho $r$ vuông góc với $BC$, và $s$ vuông góc với $AD$. Lấy $P$ là giao điểm của $r$ với $AD$, và $M$ là giao điểm của $s$ với $BC$. Cho $N$ là trung điểm của $EO$.

Chứng minh rằng các điểm $M$, $N$, và $P$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 6. Cho $F$ là một họ các tập con của $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ $(n \geq 2)$. Trong mỗi lần chơi được cho phép, ta chọn hai tập hợp $A$ và $B$ không giao nhau từ $F$, và thêm tập $A \cup B$ vào $F$ (mà không loại $A$ và $B$ ra ngoài).

Ban đầu, $F$ xuất phát với tất cả các tập con chỉ gồm $1$ phần tử của $S$. Mục đích là tạo nên tất cả các tập con gồm $n - 1$ phần of $S$ trong $F$ bằng các lần chơi trên.

Tìm số các lần chơi thấp nhất cần thiết để đạt được đích.
 

--- Hết ---

*Charrúa được nhắc đến là tên bộ tộc bản địa của Nam Mỹ.