Bài toán 4 :Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả :
$\left | f(x)-f(q) \right |\leq 5(x-q)^2$, trong đó $q\in \mathbb{Q}, x\in \mathbb{R}$
Đặt $P(x,q)$ là 1 phép thế nào đó của hàm đã cho.
$P(x,\frac{x+q}{2})\implies |f(x)-f(\frac{x+q}{2})|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.
$P(\frac{x+q}{2},q)\implies |f(\frac{x+q}{2})-f(q)|\le 5(\frac{x-q}{2})^2$.
Vì thế $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2}$. Tương tự $|f(x)-f(q)|\le \frac{5(x-q)}{2^n}$.
Cho $n\to 0$, $|f(x)-f(q)|\le 0$.
Vì thế $f(x)=f(q)$ => $f(x)=c$. Thử lại thỏa.
Vậy $f(x)=c$