899225

Lâu lâu vô chém phát:

BĐT<=>$+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$ (1)

 

Dễ thấy $\frac{z}{y}*\frac{x}{z}\geq 1$ vì $x\geq y$

Nhớ đến BĐT:$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ vs ab=1

=>(1)$\geq \frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{2}{1+\frac{x}{y}}$

Đăt x/y=t; 1=<t<=4 => (1)$\geq \frac{2}{1+t}+\frac{t}{2t+3}$

Từ đây đạo hàm => (1)$\geq \frac{33}{34}$

(Chỗ đạo hàm hơi oải )

Tìm min thì dễ rồi nhĩ =1/3

PK nghĩ không đó là hàm đồng biến nên xét x<2 thì vế trái sẽ >2 va trường hợp kia cũng vậy.

Sao lại đưa ra luôn hướng dẫn thế thì còn gì mà làm nữa

Từ BPT thứ 2 $ \Leftrightarrow (x-1)(1+\frac{2}{x^2})\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1 $
Ta có $ \x^3-6x^2+5=(x-1)(x^2-5x-5) $
Mặt khác ta có pt $ (x^2-5x-5) $ có hai nghiệm là x1= $\frac{5+3\sqrt{5}}{2} $ x2= $ \frac{5-3\sqrt{5}}{2} $

Xét $ \frac{5+3\sqrt{5}}{2}\geq x\geq 1 \Leftrightarrow x^3-6x^2+5\leq 0 $ Suy ra hệ vô nghiệm.
Xét $ x\geq \frac{5+3\sqrt{5}}{2} $ ta dễ thấy $ \sqrt{x^3+4}> \sqrt{x^3-6x^2+5} $ (1)
$\sqrt{x^3+4} >6, x^2+2x-6>x^2 $ (2)
Từ (1) và (2) Suy ra $ (x^3+4)(x^2+2x-6)>6x^2\sqrt{x^3-6x^2+5} $
Do đó hệ vô nghiệm