Sagittarius912

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh:

$\frac{ab+1}{a+b}+\frac{bc+1}{b+c}+\frac{ca+1}{c+a}\ge 3$

Sử dụng nguyên lí đếm bằng hai cách để giải bài toán sau:

Cho X là tập hợp với $\left | X \right |=n$ và $A_1,A_2,...A_m$ là các tập con của X sao cho:

i) $\left | A_i \right |=3$ với mọi $i=1,2,....m$

ii) $\left | A_i\cap A_j \right |\le 1, \forall i\neq j$

Chứng minh rằng tồn tại A thuộc X, A chứ ít nhất $[\sqrt{2n}]$ phần tử sao cho A không chứ $A_i$ với mọi $i=1,2,....m$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x+2y)x^3=8\\x(y^3-2)=6 \end{matrix}\right.$

Chứng minh:

$\frac{1}{1\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}}+.......+\frac{1}{2012\sqrt{2013 }}<2$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\ge 3$