NosoZ

Bài 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

$\quad$ Việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình,...bằng các phương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học,...khá quen thuộc đối với các bạn chuẩn bị thi vào đại học. Tuy nhiên đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít nhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng!
$\quad$ Trong phạm vi bài giảng này tôi muốn bàn về một phương pháp để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình,...khi mà các phương pháp nêu trên gặp khó khăn hoặc bế tắc! Đó là "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số".
Tính chất 1: Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục và đơn điệu trên tập $D$ thì phương trình $f(x)=0$ có nhiều nhất một nghiệm thuộc $D$.
Tính chất 2: Nếu phương trình $f'(x)=0$ có một nghiệm trên tập $(a,b)$ thì phương trình $f(x)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm trên $(a,b)$.
Tính chất 3: Nếu $f(x)$ liên tục, đồng biến trên $D$ và $g(x)$ liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên $D$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm trên $D$.
Tính chất 4: Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và đơn điệu trên $D$ thì với $\forall {u},{v} \in D$ ta có: $f(u)=f(v) \Leftrightarrow u=v$.
Tính chất 5: Nếu $f(x)$ đơn điệu trên $(a,b)$ thì $x,y,z \in (a,b)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{gathered} f(x) = y \\ f(y) = z \\ f(z) = x \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = z$$
Tính chất 6: $f(x)$ đồng biến trên $(a,b)$ thì $f(u) < f(v ) \Leftrightarrow u < v$
$f(x)$ nghịch biến trên $(a,b)$ thì $f(u) < f(v ) \Leftrightarrow u > v$ với mọi $u,v \in (a,b)$.
$\quad$ Chỉ cần nắm được định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến các bạn dễ dàng suy ra tính chất 1, 2, 3, 4 và 6. Riêng tính chất 5 SGK không đề cập, do đó mỗi khi sử dụng kết quả này các bạn phải chứng minh lại. Tôi sẽ nói chi tiết hơn và đồng thời chứng minh tính chất này trong Ví dụ 2.2 của Vấn đề 2!

Vấn đề 1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Ví dụ 1.1. Giải các phương trình sau:
$\quad$ a) $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$
$\quad$ b) $3{x^7} - \sqrt {5 - 4x} = 3 - {x^3}$
$\quad$ Nhận định: Đối với câu 1, có thể bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương, tuy nhiên bạn sẽ gặp khó trong biến đổi. Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi.
$\quad$ Nếu bạn chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tập nào đó). Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu bạn. Vấn đề còn lại là đoán nghiệm! Công việc này không khó, nhưng nếu bạn cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian. Hãy ưu tiên những giá trị của $x$ sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!
Lời giải.
a) Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{2}$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} - 1 = 0$
Xét hàm số $f(x) = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1}- 1$ trên $[\frac{1}{2}; + \infty)$. Ta thấy rằng:
+ Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[\frac{1}{2}; + \infty)$
+ Có đạo hàm $f'(x) = \frac{2}{\sqrt {4x-1}}+ \frac{4x}{\sqrt {4x^2-1}}> 0$ với $\forall x \in (\frac{1}{2}; + \infty)$.
Do đó hàm $f(x)$ đồng biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$.
+ $f(\frac{1}{2}) = 0$
Kết luận: $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. (Xem tính chất 1!)
b) Điều kiện: $x \leqslant \frac{5}{4}$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = 3$
Xét hàm số $f(x) = 3{x^7} + {x^3} - \sqrt {5 - 4x} = 3$ trên $(- \infty ;\frac{5}{4}]$. Ta thấy rằng:
+ Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(- \infty ;\frac{5}{4}]$
+ Có đạo hàm $f'(x) = 21{x^6} + 3{x^2} + \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} > 0$ với $\forall x \in (- \infty ;\frac{5}{4})$.
Do đó hàm $f(x)$ đồng biến trên $(- \infty ;\frac{5}{4})$.
+ $f(1) = 3$
Kết luận: $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình: $\root 3 \of {x + 2}+\root 3 \of {x+1}=\root 3 \of {2x^2+1}+\root 3 \of {2x^2}$
$\quad$ Nhận định: Cũng với tư duy như trong Ví dụ 1.1 nhưng sẽ khó khẳng định được hàm số $f(x)$ liên tục, đơn điệu trên TXĐ của nó. Tuy nhiên, quan sát kỹ thì thấy các biểu thức dưới dấu căn ở 2 vế có chung một mối liên hệ:
\begin{align*}
& x + 2 =(x + 1) + 1\\
& 2x^2+ 1 =(2x^2) + 1
\end{align*}
Do đó, nếu đặt $u: = \root 3 \of {x + 1} $ và $v: = \root 3 \of {2x^2}$ thì phương trình đã cho trở thành:
$$u+ \root 3 \of {u^3+1}=v + \root 3 \of {v^3+1}$$
Đến đây, ta chỉ việc xét một hàm số có dạng $f(t)= t+ \root 3 \of {{t^3}+1}$ và vận dụng tính chất 4, bài toán được giải quyết!
Lời giải. Tập xác định: $\mathbb {R}$
Đặt $u: = \root 3 \of {x + 1} $ và $v: = \root 3 \of {2x^2}$ thì phương trình đã cho trở thành:
$$u+ \root 3 \of {u^3+1}=v + \root 3 \of {v^3+1} \text{ hay } f(u) = f(v)$$
Xét hàm số $f(t)= t+ \root 3 \of {{t^3}+1}$ trên $\mathbb {R}$. Ta thấy:
+ $f(t)$ là hàm liên tục trên $\mathbb R$
+ Có đạo hàm $f'(t) = 1+\frac{t^2}{\root 3 \of {(t^3+1)^2}} > 0$ trên $\mathbb R$ nên $f(t)$ là hàm đồng biến trên trên $\mathbb R$.
Do đó
\begin{align*}
f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v\\
& \Leftrightarrow 2x^2= x + 1
\end{align*}
Kết luận: Nghiệm của phương trình là: $x=1$ và $x = \frac{1}{2}$.
Bài tập
Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:
$\quad \quad $ a) $\sqrt {15 - x} + \sqrt {3 - x} = 6$
$\quad \quad $ b) $\sqrt {3x - 5} + \sqrt {2x + 3} = 2 + \sqrt {12 - x}$
$\quad \quad $ c) $\sqrt {2{x^2} + 23} = 4x - 2 + \sqrt {2{x^2} + 7}$
$\quad \quad $ d) $\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} $
$\quad \quad $ e) ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0$
Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:
$\quad \quad $ a) $8x^3- {(\sqrt {2x + 1})^3} = \sqrt {2x + 1}- 2x$
$\quad \quad $ b) ${\log _3}(\frac{x^2+ x + 3}{2x^2+ 4x + 5}) = x^2+ 3x + 2$
Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:
$\quad \quad $ a) ${3^x} + {4^x} + {5^x}$
$\quad \quad $ b) ${9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0$