Mai Xuan Son

Cho các tập $A_{1},A_{2},...,A_{n}$

Đặt $\sum |A_{i}|=M_{1}$

$\sum |A_{i}\cap A_{j}|=M_{2}$

...

$|A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}|=M_{n}$

Theo bao hàm và loại trừ:

$S=|\bigcup A_{i}|=M_{1}-M_{2}+...+(-1)^{n-1}.M_{n}$

Chứng minh:

$S\geq M_{1}-M_{2}+...+(-1)^{m+1}.M_{m}$ với $m$ chẵn

$S\leq M_{1}-M_{2}+...+(-1)^{m+1}.M_{m}$ với $m$ lẽ

Cho ngũ giác có các đỉnh được gán các giá trị nguyên $x_{i}$ với $i\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$

Sao cho $\sum _{i=1}^{5}x_{i}> 0$ Bốc ra 3 đỉnh liên tiếp $x,y,z$ có $y<0$ thì ta thay $(x;y;z) \mapsto (x+y;-y;y+z)$

Cứ làm như thế, Chứng minh thuật toán này luôn phải dừng!!

Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ có giá trị là $1$ hoặc $-1$

Lại có:

$\sum _{1}^{n}a_{i}.a_{i+1}.a_{i+2}.a_{i+3}=0$

Quy ước: $\left\{\begin{matrix} a_{n+1}=a_{1} & & \\ a_{n+2}=a_{2} & & \\ a_{n+3}=a_{3} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $n\vdots 3$

Cho $a,b,c\geq 0$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 và $k\geq \log _{\frac{3}{2}}2$

Chứng minh rằng:

$\sum _{cyc}\frac{1}{a^{k}+b^{k}}\geq \frac{5.2^{k-1}}{(a+b+c)^{k}}$