giomua

Cám ơn bạn nhé

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x}$, $x\in\left(0,+\infty\right)$. Ta có $f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}>0 \ \forall \ x\in \left(0,+\infty\right)$. Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\left(0,+\infty\right)$.

 

Ta sẽ chứng minh $1<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$.

Hiển nhiên $u_1=a>1$, và $u_2-u_1=\dfrac{a-1}{a}>0$. Do đó $1<u_1<u_2$. Vậy khẳng định đúng với $n=1$ và $n=2$. Giả sử khẳng định trên đúng đến $n\geqslant 2$. Ta sẽ chứng minh khẳng định trên cũng đúng với $n+1$.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp thì $1<u_1<\ldots<u_n$. Do đó ta có $u_{n+1}=f\left(u_n\right)>f(1)=1$. Mặt khác, cũng vì hàm $f\left(x\right)$ là hàm đồng biến nên $f\left(u_n\right)>f\left(u_{n-1}\right)\iff u_{n+1}>u_n$. Vậy ta có $1<u_1<\ldots<u_n<u_{n+1}$. Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có ngay $1<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$. Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng.

 

Giả sử $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn $L\in \mathbb{R}$, $L>1$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn thì ta có ngay $L=1$, mâu thuẫn. Vậy $\left(u_n\right)$ không có giới hạn hữu hạn, hay là $\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.

 

Mặt khác ta có

\begin{align*} &\phantom{~\iff} u_{n+1}-1=\dfrac{u_n^2-1}{u_n} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n\left(u_n-1\right)}{\left(u_n-1\right)\left(u_n^2-1\right)} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\\ &\iff \dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_n^2-1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{u_n^2-1}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\end{align*}

 

Vậy ta có

\[S_n=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{u_k^2-1}=\dfrac{1}{u_1-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}\]

 

Vì $u_1=a>1$, $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=+\infty$ nên ta có ngay $\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{1}{a-1}$.

Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ

$\frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$

 

Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ

Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ