25 minutes

Giải phương trình : $x=\log_{2013} (\sqrt{x^2+1}+x)$

Phương trình tương đương với 

    $\sqrt{x^2+1}+x=2013^x$

+) Xét $x>0$

Xét hàm số $f(x)=2013^x-\sqrt{x^2+1}-x\Rightarrow f'(x)=2013^x.\ln 2013-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1> 0$

$\Rightarrow f(x)>f(0)=0$, phương trình vô nghiệm

+) Xét $x<0$, đặt $-x=t>0$, phương trình tương đương 

  $\sqrt{t^2+1}-t=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}+t=2013^t$

Tương tự như trên

Lại có $f(0)=0$, do đó $x=0$ là nghiệm duy nhất.

Với a,b,c là các số thực dương
CMR: $\sum(\frac{a}{2a+b})^{3}\geq\frac{1}{9}$

BĐT tương đương $\sum \frac{1}{(2+\frac{b}{a})^3}\geqslant \frac{1}{9}$

Đặt $\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}=x,y,z\Rightarrow xyz=1$

Ta có thể giả sử $z\leqslant 1\Rightarrow xy\geqslant 1\Rightarrow \frac{1}{(2+x)^3}+\frac{1}{(2+y)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\sqrt{xy})^3}=\frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(2+x)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}+\frac{1}{(2+z)^3}=f(z)$

Biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số với $z \in (0;1]$

Cho x,y,z số thực thỏa mãn: $\sum x=0$ và $\sum x^2=1$

Tìm Min $A=x^5+y^5+z^5$

Tham khảo

Cho a,b,c>0.CM:$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 2(b+\frac{c}{2}-a)^{3}$

BĐT sai với $a=b=c=1$

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm max của: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$

Ta có $P=3-(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

Lại có $a^2+b^2+c^2+3=(a+b+c)^2+ab+bc+ca\leqslant (a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4}$

Vậy ta có đcpm.

Cho x,y,z dương. Cmr:$\frac{x^{2}-z^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}-x^{2}}{x+z} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x+y}\geq 0$

BĐT tương đương $\frac{x^2-y^2+y^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-z^2}{x+z}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (x^2-y^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+(y^2-z^2)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y)}{(x+z)(y+z)}+\frac{(y-z)^2}{x+y}\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Cho a,b,c>0 ;$a+b+c \geq 1/a + 1/b + 1/c.$
Chứng minh rằng ;$a+b+c \geq 3/(abc).$

Từ giả thiết ta có $abc(a+b+c)\geqslant ab+bc+ca$

Sử dụng AM-GM $ ab+bc+ca\geqslant \sqrt{3abc(a+b+c)}\Rightarrow abc(a+b+c)\geqslant \sqrt{3abc(a+b+c)}$

$\Rightarrow abc(a+b+c)\geqslant 3$

Đẳng thức khi $a=b=c=1$

Hình chóp A.BCD có $\angle ACB=90=\angle ADB ;AB=2a$.Đáy BCD là tam giác cân tại B,có $\angle CBD=2\alpha$ và CD=a.Tính thể tích khối chóp theo a và $\alpha$

Mình không có máy tính nên sẽ chỉ làm vắn tắt, mong bạn thông cảm.

Với điều kiện tam giác $BCD$ cân và biết góc $B$, biết cạnh $CD$, ta sẽ tính được diện tích tam giác này, và tam giác này hoàn toàn " xác định " trong không gian.

Công việc còn lại là tìm được đường cao kẻ từ $A$ xuống mặt phẳng $(BCD)$

Giả sử $AO$ là đường cao, khi đó $AO$ vuông góc với $BC$, mà $AC$ cũng vuông góc với $BC$, khi đó $BC$ vuông góc với $ACO$, hay $BC$ vuông góc với $OC$

Tương tự $BD$ vuông góc với $DO$

Vậy $O$ là giao điểm của 2 đường thẳng $\Delta _1,\Delta _2$, trong đóc $\Delta _1$ vuông góc với $BC$ tại $C$, $\Delta _2$ vuông góc với $BD$ tại $D$

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$.

Sử dụng AM-GM ta có $a^5+b^5\geqslant ab(a^4+b^4)\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leqslant \sum \frac{1}{a^4+b^4+1}$

Chuyển $(a^4,b^4,c^4)\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{x+y+1}\leqslant 1$

Chuyển $(x,y,z)=(u^3,v^3,w^3)$, khi đó $uvw=1$, cần chứng minh

 $\sum \frac{1}{x+y+1}=\sum \frac{1}{u^3+v^3+uvw}\leqslant 1$

Dễ thấy $u^3+v^3+uvw\geqslant uv(u+v)+uvw=uv(u+v+w)$            

$\Rightarrow \sum \frac{1}{u^3+v^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{uv(u+v+w)}=\frac{w}{u+v+w}=1$

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$

 

P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .

BĐT tương đương

 $\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$

Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$

Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$

Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$

Vậy ta có đpcm

Cho x,y>0 thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy} = xy+2$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ với $ab\leqslant 1$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4}{1+xy}-\frac{3}{1+2xy}=\frac{4}{1+t}-\frac{3}{1+2t}=f(t),t=xy$

Sử dụng giả thiết 

$t+2=x^4+y^4+\frac{1}{t}\geqslant 2t^2+\frac{1}{t}\Rightarrow t \in [\frac{1}{2};1]$

Sau đó khảo sát hàm số.

$\large \int_{0}^{\propto }x^3e^{-x^2}dx$

Ta có $\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t}x^3e^{-x^2}dx$

Để cho đỡ rắc rối mình chỉ tính nguyên hàm $I=\int x^3e^{-x^2}dx=\frac{-1}{2}\int x^2e^{-x^2}d(-x^2)$

Đặt $-x^2=u$ $\Rightarrow I=\frac{-1}{2}\int -ue^udu=\frac{1}{2}\int ue^udu=\frac{1}{2}(ue^u-e^u)=\frac{1}{2}(-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2})$

Bài toán này đã có 1 lần được đăng lên trang chủ nhưng mình không tìm thấy link. Nhận thấy trong 1 lớp tầm 50 học sinh, kiểu gì cũng tìm được 2 người cùng ngày sinh, nên xác suất không phải nhỏ lắm !!!

Bài toán: 1 lớp học có 53 học sinh. Tính xác suất để có ít nhất 2 bạn có cùng ngày, tháng ( mọi người đều bằng tuổi )

Bài toán 2: Biết trong 1 lớp, xác suất để có 2 bạn cùng ngày, tháng sinh là $x$ cho trước. Tính số học sinh xấp xỉ của lớp đó.

Bài 7 (B-2008) Cho x, y thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$ . Tìm min $P=\frac{2\left ( x^{2}+6xy \right )}{1+2xy+2y^{2}}$

Ta có $\frac{P}{2}=Q=\frac{x^2+6xy}{x^2+2xy+3y^2}$

Nếu $y=0$ thì $P=2$

Nếu $y\neq 0\Rightarrow \frac{P}{2}=Q=\frac{t^2+6t}{t^2+2t+3}$

$\Rightarrow (Q-1)t^2+(2Q-6)t+3Q=0$

Nếu $Q=1$ thì $P=2$

Xét $Q \neq 1$, ta phải có $\Delta =(2Q-6)^2-4.3Q(Q-1)\geqslant 0\Leftrightarrow -3\leqslant Q\leqslant \frac{3}{2}\Rightarrow -6\leqslant P\leqslant 3$

Vậy $max_{P}=3, min_{P}=-6$ tại .....

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$\frac{a^{11}}{bc}+\frac{b^{11}}{ca}+\frac{c^{11}}{ab}+\frac{3}{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}+9}{2}$

Áp dụng AM-GM

$\frac{a^{11}}{bc}+abc\geqslant 2a^6$

Tương tự $\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{11}}{bc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}\geqslant 2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{a^2b^2c^2}$

Do đó ta cần chứng minh $2(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{a^6+b^6+c^6+9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)-3abc+\frac{3}{(abc)^2}\geqslant \frac{9}{2}$ (*)

Lại có $a^6+b^6+c^6+3\geqslant 6abc\Rightarrow \frac{3}{2}(a^6+b^6+c^6)\geqslant 9abc-\frac{9}{2}$

$\Rightarrow VT(*)\geqslant 6abc+\frac{3}{(abc)^2}-\frac{9}{2}\geqslant 9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}=VP(*)$

Vậy ta có đpcm