25 minutes

Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

$(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}$

Từ giả thiết ta có $4(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

Khi đó $P=\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^3}\Rightarrow \frac{P}{4}=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}$

Đặt $\frac{a}{a+b+c},..=x,...\Rightarrow x+y+z=1, xy+yz+zx=\frac{1}{4}$  (*)

Khi đó cần tìm Min, Max của $\frac{P}{4}=Q=x^3+y^3+z^3=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)$

Ta có $xy+yz+zx=x(y+z)+yz=x(1-x)+yz=\frac{1}{4}\Rightarrow yz=\frac{1}{4}-x(1-x)$

Khi đó $Q=x^3+(1-x)^3-3[\frac{1}{4}-x(1-x)](1-x)=f(x)$

Đến đây khảo sát hàm số, kết hợp (*) để tìm điều kiện của $x$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Mình thấy cách này đơn giản hơn nhiều !!!

BĐt tương đương với 

  $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo C-S

 $\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho x,y thỏa mãn $x+y-1= \sqrt{2x-4} +\sqrt{y+1}$. Tìm Min, Max của biểu thức:

$P=(x+y)^{2} - \sqrt{9-x-y} +\frac{1}{\sqrt{x+y}}$

Đặt $t=x+y$, khi đó $P=f(t)=t^2-\sqrt{9-t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$

Từ giả thiết ta có 

$t-1=\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{y+1}\leqslant \sqrt{3(x-2+y+1)}=\sqrt{3(t-1)}$

$\Rightarrow t\leqslant 4$

Lại có $t-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant 1\Rightarrow t \in [1;4]$

Sau đó khảo sát hàm số.

 

Câu $37$:

Cho một luồng khí $CO$ đi qua $m$ gam hỗn hợp $Fe_2O_3, CuO, Al_2O_3$. Trong đó số mol của $Fe_2O_3$ bằng $3$ lần số mol $CuO$, số mol $CuO$ bằng $2$ lần số mol $Al_2O_3$. Sau phản ứng thu được $30$ gam chất rắn và chất khí. Cho hỗn hợp khí thoát ra tác dụng hết với $150$ ml dd $Ba(OH)_2$ $1M$, sau phản ứng thu được $19,7$ gam kết tủa. Giá trị $m$ là ?

Gọi số mol $Al_2O_3=x, CuO=2x,Fe_2O_3=6x$

Số mol $O$ là $23x$

Tính được số mol $CO_2$ trong hồn hợp khí là $0,2$ mol

Do $CO$ dư nên bao nhiêu $O$ trong $m$ kia chạy hết vào $CO_2$

Hoi thêm là 30g kia là hồn hợp cả chất rắn và chất khí đúng không ? Bài này khả năng là cả oxit lẫn $CO$ đều phản ứng một phần thôi.

Tìm max M= abc biết a, b,c > 0 và$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

Từ giả thiết ta có 

   $\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geqslant \frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{(1+b)(1+c)}}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi nhân vào ta được

   $1\geqslant 8abc\Rightarrow abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$

  Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của

 

             $\sum_{cyc}\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

 

P/s: Số $2$ rất khó chịu. Mong mọi người giúp đỡ.

Sử dụng AM-GM

$\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}}+2z\sqrt{z}\geqslant \frac{2x^2\sqrt{yz}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Do $xyz=1$

Đặt $(x\sqrt{x},.,)=(a,b,c)\Rightarrow P\geqslant \sum \frac{2a}{b+2c}=\sum \frac{4a^2}{2ab+4ac}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{6(ab+bc+ca)}\geqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTLN của biểu thức 

$\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+\sqrt{c^2+c+4}$

Cách 1: Ta chứng minh 

        $\sqrt{a^2+a+4}\leqslant \frac{2a+6}{3}\Leftrightarrow 5a(a-3)\leqslant 0$

Tương tự ta có $\sum \sqrt{a^2+a+4}\leqslant \frac{2(a+b+c)+18}{3}=8$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0;0;3)$

Cách 2: Ta sẽ chứng minh 

      $\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}\leqslant \sqrt{(a+b)^2+a+b+2}+2=\sqrt{(3-c)^2+3-c+2}+2$

Khi đó $\sum \sqrt{a^2+a+4}\leqslant \sqrt{(3-c)^2+3-c+2}+2+\sqrt{c^2+c+4}=f(c)$

Khảo sát hàm số ta được $f(c) \leqslant f(3)=8$

Cho hàm số $y=sinxsin2xsin3x$

Tìm $y^{\left ( 2015 \right )}$

Sử dụng công thức tính được $\sin x.\sin 2x.\sin 3x=\frac{\sin 4x+\sin 2x-\sin 6x}{4}$

Sử dụng công thức đạo hàm bậc cao 

 $(\sin ax)^\left ( n \right ) =a^n.\sin (ax+\frac{n.\pi}{2})$

Tính tích phân: $\large I=\int_{2}^{-2}\frac{dx}{(x+1)^2}$

Sử dụng nguyên hàm cơ bản 

$I=\int \frac{dx}{(x+1)^2}=\frac{-1}{x+1}+C$

Thay cận vào ta được đáp số $I=\frac{4}{3}$

1.Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$(x+y)\sqrt{1+\frac{2}{x^2y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{2}{z^2}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^2}}$$

 

3..Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=5(x+y+z)-2xy$.Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$P=x+y+z+43\left [ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y+z}} \right ]$$

Bài 1: Áp dụng C-S ta có 

 $\sqrt{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}+\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+2(\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z})^2}=\sqrt{(x+y+z)^2+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{162}{(x+y+z)^2}}$

Và $\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^2}}\geqslant \sqrt{\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}}=\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$

Khi đó $P\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{162}{(x+y+z)^2}}\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=f(t),t=x+y+z\leqslant 3$

Bài 3: Tham khảo ở đây

Cho x;y;z >=0:x+y+z=1.

CM:$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq \frac{4}{27}$

Ta sẽ chứng minh $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leqslant \frac{4(x+y+z)^2}{27}$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $y$ là số nằm giữa $x,z$

Khi đó $(x-y)(y-z)\geqslant 0\Rightarrow xy+yz\geqslant y^2+xz\Rightarrow xyz+yz^2\geqslant y^2z+z^2x$

$\Rightarrow 2xyz+yz^2+x^2y\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

$\Rightarrow y(x+z)^2\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $y(x+z)^2\leqslant \frac{4(x+y+z)^3}{27}$

BĐT luôn đúng theo AM-GM

        $y(x+z)^2=\frac{1}{2}.2y(x+z)(x+z)\leqslant \frac{1}{2}[\frac{2y+x+z+x+z}{3}]^3=\frac{4(x+y+z)^3}{27}$

Vậy ta có đcpm

 

$a,b,c\geqslant 0,a+b+c=2$

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc\leqslant 1$

 

Đặt $q=ab+bc+ca, abc=r, a+b+c=p=2$

Khi đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc=q^2-2abc(a+b+c)+r=q^2-3r$

Ta cần chứng minh $q^2-3r\leqslant 1\Leftrightarrow q^2\leqslant 3r+1$

+) Nếu $q<1$ ta có đpcm

+) Xét $q \geqslant 1$

Áp dụng BĐT Schur ta có $r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{8q-8}{8}\Rightarrow 1+3r\geqslant 1+\frac{8q-8}{3}$

Ta cần chứng minh $1+\frac{8q-8}{3}\geqslant q^2\Leftrightarrow (q-1)(q-\frac{5}{3})\leqslant 1$

BĐT trên luôn đúng do $q=ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}$, và $q \geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1;1;0)$ và hoán vị.

Giải phương trình:

$$\sqrt[4]{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt[4]{x-\frac{1}{x}+1}=2$$

Dễ thấy $x>0$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt[4]{x-\frac{1}{x}+1}-2$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{4}(x+\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1-\frac{1}{x^2})+\frac{1}{4}(x-\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1+\frac{1}{x^2})>0$

Và $f(1)=0$

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cho $a>2,b>0,c>0$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a+5}}-\frac{1}{(a-1)(b+1)(c+1)}$

Đặt $a-2=t>0$, khi đó $P=\frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}$

Áp dụng C-S và AM-GM ta có 

       $t^2+b^2+c^2+1\geqslant \frac{(t+b+c+1)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}$

      $\sqrt[3]{(t+1)(b+1)(c+1)}\leqslant \frac{t+b+c+3}{3}\Rightarrow \frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}\geqslant \frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}-\frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

Sau đó đặt $k=t+b+c+1>1$ rồi khảo sát hàm số

Cho $3$ số thực $x,y,z$ thuộc $[1;3]$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của $B= \frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy}$

Coi $B$ là hàm số theo $x$

Ta có $f'(x)=\frac{36}{yz}-\frac{1}{x^2}(\frac{2y}{z}+\frac{z}{y})\geqslant \frac{36}{yz}-\frac{2y^2+z^2}{yz}>0$

$\Rightarrow B=f(x)\geqslant f(1)=\frac{36}{yz}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{y}=f(y)$

Lại có $f'(y)=\frac{-36}{y^2.z}+\frac{2}{z}-\frac{z}{y^2}< 0\Leftrightarrow 2y^2< 36z+z^2$

BĐT trên luôn đúng với $y,z \in [1;3]$

Khi đó $f(y)\geqslant f(3)=\frac{12}{z}+\frac{6}{z}+\frac{z}{3}=\frac{18}{z}+\frac{z}{3}\geqslant f(3)=7$

Vậy $B_{min}=7$ khi $x=1,y=z=3$