Waiting for you

thêm 1 bài cho 1 ngày buồn
Flower letter

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh : $\sum \frac{1}{a^2+bc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ ?

Phải chăng cách chứng minh này sai?
Áp dụng AM-GM cho mẫu
$\sum \frac{1}{a^2+2bc}\leq \sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}}= \sum \frac{\sqrt{bc}}{2abc}\leq \sum \frac{\frac{1}{2}(b+c)}{2abc}= \frac{a+b+c}{2abc}$
Đấu bằng xảy ra khi tam giác trên đều hoặc suy biến thỏa mãn a=b=c?

Mình xin đóng góp vài bài:
1) Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}+\frac{b+c}{a})$
2)Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
3)Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$chứng minh rằng
$abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 3$
4)Cho $a,b,c,d>0$ chứng minh rằng

$\frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0$

P/s: lời giải post sau ^^

Bài 1 hình như ta dùng đánh giá sau
Theo AM-GM thì $\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ca}{b^2}\geq 3\frac{a+b}{c}$
Xây dựng các BĐT tương tự
Bài 2:Tách mỗi hạng tử vế trái thành 2 và sử dụng đánh giá
$\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a}$
Bài 3:Có $abc(a^2+b^2+c^2)= \frac{1}{3}abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{9}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)$
Theo AM-GM tiếp thì $(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)=(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{27}(a+b+c)^3=27$
đây đã là dpcm
Bài 4:hình như là 1 BĐT của vasile?

Cho x,y,z>0. CMR: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$

Đây dĩ nhiên là 1 BĐT sai?ngay với x=y=z=1,ta đã thấy???

Mọi người thử xem lời giải này xem sao
(minhtuyb) http://diendantoanho..._20#entry373195