faraanh

Giải tihích hộ t sao có chỗ tô màu:
Chỗ tô màu 1: bt sau dấu bằng đầu tiên.
Chỗ tô màu 2: sao dự đoán đc công thức đấy

1,Ta có $\frac{1}{n^3}(1.2+3.4+...+(2n-1).2n)=\frac{1}{n^3}(\frac{4n^3}{3}+n^2-\frac{n}{3})= \frac{4n^3+3n^2-n}{3n^3}=\frac{4+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{3}$
$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }u_n=\frac{4}{3}$

Thì ra chỗ này cũng đơn giản thôi:
bài 1 ta chứng minh: $1.2+3.4+...+(2n-1).2n=4.1^2-2.1+4.2^2-2.2+...+4n^2-2n=4(1^2+2^2+...+n^2)-2(1+2+...+n)=4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}=\frac{4n^3+3n^2-n}{3}$
còn bài 4 mình sắp có 1 cách tự nhiên hơn (tạm thời chưa ra)

Đúng là cánh tay đòn cần rất rất dài và điểm tựa của nó phải rất gần với Trái Đất. Nghĩa là cung tròn mà nó vạch ra là rất dài.(Một phép tính đơn giản cho thấy khi nâng Trái Đất lên chỉ 1 cm thì đầu kia phải di chuyển một cung dài khoảng 1 000 000 000 000 000 000). Theo tính toán cho rằng các các điều cần để thực hiện giả sử đủ thì thời gian để đi hết cung tròn đó là khoảng 1 000 000 000 000 000 000 000 giây hoặc 3 vạn tỷ năm! $Archimède$ dành suôt đời dài dằng dặc của mình cũng chưa "nâng được Trái Đất" lên một khoảng bằng bề dày của một sợi tóc !!!
Vậy điều mà $Archimède$ nói là không thể thực hiện

bài này lấy ở quyển vật lí vui (quyển 2) của IA.I.PÊ REN MAN chứ đâu

tính giới hạn các dãy số sau:
$u_n=\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=3+\frac{4}{u_n}\end{matrix}\right.,n\geq 1$
$u_n=\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n+n(n^2-1)\end{matrix}\right.$
$u_n=\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n+(\frac{1}{2})^2\end{matrix}\right.,n\geq 1$
$u_n=\left\{\begin{matrix}u_1=\sqrt{6}\\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}\end{matrix}\right.,n\geq 1$

tính giới hạn của các dãy số sau:
$u_n=\frac{1}{n^3}(1.2+3.4+...+(2n-1).2n)$
$u_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}$
$u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$
$u_n=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...2n}$
$u_n=q+2q^2+...+2q^n,\left | q \right |<1$, riêng bài này tính thêm $lim(nq^n)$ nữa

Tính $\lim \frac{1+a+a^2+...+a^n}{1+b+b^2+...+b^n},\left | a \right |<1;\left | b\right |<1;$

Có bao nhiêu số tự nhiên mà cách viết thập phân gồm đúng n chữ số (n>2), trong đó có đúng hai chữ số 8?

Ta coi số có n chữ số là một dãy có n vị trí
lần lượt đặt 2 số 8 vào n vị trí có $\frac{n(n-1)}{2!}$ cách, các vị trí còn lại đều có 9 cách nên sẽ có $\frac{n(n-1)}{2!}(n-2)^9$ cách lập số, tương tự ta loại đi trường hợp số 0 đứng đầu thì còn lại $\frac{n(n-1)}{2!}(n-2)^9 - \frac{(n-1)(n-2)}{2!}(n-3)^9$ cách.

Xét 2 trường hợp
TH1: $a_{7}=0$
=> $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ có $C_{9}^{6}$ cách chọn
Vì ta lấy ra 6 số khác nhau bất kì từ 9 số $\begin{Bmatrix}1;2..;9
\end{Bmatrix}$ sẽ tạo được 1 số thỏa đề bài
TH2: $a_{7}\neq 0$
=> $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}}$ có $C_{9}^{7}$ cách chọn(Tương tự TH1)
Vậy có $C_{9}^{6}+C_{9}^{7}=120$ số

Bài này giải sai rồi mọi người vào giải lại cái

Bạn có thể chỉ rõ chỗ sai được không?

mình chỉ ra chỗ sai của bạn như sau: ví dụ ta lập được số 1237650 thì ta có thể đổi chỗ chữ số 3 và chữ số 5, tuơng tự các số khác có thể còn nhiều cách hoán vị nữa nên không phải chọn được 6 chữ số là chỉ có 1 cách duy nhất, suy ra cách giải này sai, tương tự trường hợp hai cũng sai

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần

Ta giải bài này bằng phương pháp phần bù:
đầu tiên lập được $9.10^3$ sô tự nhiên có 4 chữ số
tiếp theo ta tính các trường hợp để chữ số i (i chạy từ 0 đến 9)lặp lại đúng 3 lần:
nếu i=0 thì có 9 cách
nếu i=1 thì có $9C_{4}^{3}$ (tức là chọn 3 trong 4 số để đặt là i, chữ số còn lại có 9 cách đặt), tương tự cho i từ 2 đến 9
vậy có $9.10^3-(9+9.9C_{4}^{3})=8667$ số thoả mãn

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, từ M di động tren SA dựng MN song song với AD (N thuộc SD), trên cạnh CD lấy Q sao cho $\frac{CQ}{CD}=\frac{SM}{SA}$, tìm M trên SA để tam giác MNQ có diện tích lớn nhất

1) Ta sẽ tính xác suất thắng cuộc trong 1 ván đấu:
Không gian mẫu có $6^5$ phần tử.
Gọi $T$ là biến cố thắng cuộc. Ta sẽ tìm số các khả năng của $T$.
- Chọn 3 con súc sắc từ 5 con súc sắc ta có $C^3_5$. Ba con súc sắc này cùng xuất hiện mặt $1$.
- Hai con súc sắc còn lại có $6^2$ khả năng.
Vậy $n(T)=C^3_5.6^2$. Suy ra:
$$P(T) = \frac{C^3_5}{6^3}=\frac{10}{6^3}$$

Suy ra xác suất thua (Tạm quy định không thắng là thua, không có hòa) là:
$$P(B) = 1 -\frac{10}{6^3}$$

2) Bây giờ sẽ tính xác suất chơi 5 ván thua tối đa 3 ván:
Dễ thấy xác suất thua đúng $i$ ván là
$$C^i_5.\left (1 -\frac{10}{6^3} \right )^i.\left (\frac{10}{6^3} \right )^{5-i}$$
Do đó xác suất cần tìm là:
$$P=\sum_{i=0}^{3}C^i_5.\left (1 -\frac{10}{6^3} \right )^i.\left (\frac{10}{6^3} \right )^{5-i} \approx 0,0195$$

Em làm thế này (thấy có vẻ đúng mà sao kết quả khác nhỉ?):
Đầu tiên ta cũng tính xác suất để thắng 1 ván: để thắng 1 ván thì có thể là xuất hiện 3 hoặc 4 hoặc 5 mặt nhất.
lại có xác suất để xuất hiện mặt nhất là 1/6, xác suất để không xuất hiện mặt này là 5/6.
Ta đặt A:"Thắng 1 ván", suy ra $P(A)=\sum_{k=3}^{5}C_{5}^{k}(\frac{1}{6})^k(\frac{5}{6})^{5-k}=\frac{23}{648}$
cũng giả sử là không có hoà, xác suất để thua 1 ván là: $P(\overline{A})=1-P(A)=\frac{625}{648}$
Tiếp theo đặt B:"trong 5 ván chơi thua tối đa 3 ván", suy ra: $P(B)=\sum_{k=2}^{5}C_{5}^{k}.P(A)^k.P(\overline{A})^{5-k}\simeq 0,01173$ (tức là thua từ 0 đến 3 ván ứng với thắng từ 5 đến 2 ván, k là số ván thắng)

Trên các cạnh AB, BC CD, DA của hình vuông ABCD ta lần lượt lấy 1; 3; 12; 20 điểm phân biệt không trùng với các đỉnh A, B, C, D, chọn ngẫu nhiên 3 trong 36 điểm đó. Tính xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành tam giác.

dễ thấy trường hợp không tạo thành tam giác khi và chỉ khi 3 điểm đó thẳng hàng (tức là cùng nằm trên một cạnh của hình vuông).
số trường hợp không tạo thành tam giác là: $C_{3}^{3}+C_{12}^{3}+C_{20}^{3}$, suy ra xác suất để tạo thành tam giác là:
$1-\frac{C_{3}^{3}+C_{12}^{3}+C_{20}^{3}}{C_{36}^{3}}$

1. Từ các phần tử của tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 xuất hiện đúng một lần, chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần.

Ta lần lượt điền bộ 3 số cố định (bặt buộc phải có 1 số 1 và 2 số 2) vào 6 vị trí có $\frac{A_{6}^3}{2!}$ cach (do đây là hoán vị có lặp nên ta phải chia cho 2!),
sau đó đặt các số còn lại vào 3 vị trí còn lại có $A_{7}^{3}$ cach.
vậy có $\frac{A_{6}^3}{2!}.A_{7}^{3}=12600$ cách

Giải phương trình
$\frac{\sqrt{3}-2sin2x}{sin(x-\frac{\pi }{3})}=2$.

ĐKXĐ $sin(x-\frac{\pi }{3})\neq 0$
PT <=>$\sqrt{3}-2sin2x=2sin(x-\frac{\pi }{3})$
<=>$sin\frac{\pi }{3}-sin2x=sin(x-\frac{\pi }{3})$
<=>$sin\frac{\pi }{3}-sin(x-\frac{\pi }{3})=sin2x$
<=>$2sin(\frac{2\pi }{3}-x)cosx=2sinxcosx$
Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

bạn VNSTaipro nhầm rồi, phải là $sin\frac{\pi}{3}-sin(x-\frac{\pi }{3})=sin2x
<=>2sin(\frac{\frac{2\pi }{3}-x}{2})cos\frac{x}{2}=2sinxcosx$ chứ!

$\sin x +\cos x +2\sin x .\cos 2x =1$

pt $sinx+cosx+2sinx(1-2sin^2x)=1\Leftrightarrow 4sin^3x-3sinx-cosx+1=0\Leftrightarrow 4tan^3x-3tanx\frac{1}{cos^2x}-\frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{cos^3x}=0$ (điều kiện...)
sau đó sử dụng công thức $\frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x$ ra phương trình bậc 3 theo tan là được

Giải phương trình lượng giác (đề thi thử moon.vn)
$\sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos (\pi /6-x)-4\sqrt{3}\cos ^2x.\sin x.\cos 2x$

pt $\Leftrightarrow sinxsin4x=2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sin)-2\sqrt{3}sin2xcos2xcosx
\Leftrightarrow sinxsin4x=\sqrt{2}(sinx+\sqrt{3}cosx)-\sqrt{3}sin4xcosx
\Leftrightarrow sin4x(sinx+\sqrt{3}cosx)=\sqrt{2}(sinx+\sqrt{3}cosx)
\Leftrightarrow (sinx+\sqrt{3}cosx)(sin4x-\sqrt{2})=0$
đến đây dành cho bạn
bạn tập gõ latex ở đây