chaugaihoangtuxubatu

Cmr : với mọi n nguyên dương, ta có :
$\sqrt[n]{n}<1+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Cmr : với mọi n nguyên dương thì
$\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{2}}\leq \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+... \frac{1}{n^2}$

1, $7y=5z\Rightarrow y=\frac{5}{7}z$
$3x=2y\Rightarrow x=\frac{2}{3}y$ mà $y=\frac{5}{7}z\Rightarrow x=\frac{10}{21}z$
Thay vào ta được :$\frac{10}{21}z-\frac{5}{7}z+z=32$
Từ đó tính được z.

Cho pt : x² - ( m + 2 )x + m² + 1 = 0
Tìm m để x₁² + 2x₂²=3x₁x₂

Để pt có nghiệm $\leftrightarrow\Delta\geq 0\leftrightarrow(m+2)^2-4.1.(m^2+1)\geq 0\leftrightarrow m(4-3m)\geq 0\leftrightarrow 0\leq m\leq \frac{4}{3}$
Áp dung định lí Vi-ét ta có : $x_1+x_2=m+2$ (1) và $x_1x_2=m^2+1$ (2)
Có : $x_1^2+2x_2^2=3x_1x_2$
$\leftrightarrow x_1^2+2x_2^2-3x_1x_2=0$
$\leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1-2x_2)=0$
$\Rightarrow x_1=x_2$ hoặc $x_1=2x_2$
*) Với $x_1=x_2$, thay vào (1) và (2) ta được : $2x_1=m+2$ và $x_1^2=m^2+1$
Từ đây dễ dàng tính được : $x_1=m=1$ (t/m)
*) Với $x_1=2x_2$, thay vào (1) và (2) ta được : $3x_2=m+2$ và $2x_2^2=m^2+1$
Từ đây cũng dễ dàng tính được : $x_2=m=1$ (t/m)
Vậy để pt thỏa mãn $x_1^2+2x_2^2=3x_1x_2$ thì $m=1$

Cmr : Với mọi số n nguyên dương có :
$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

Bài 5 : Có $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\geq \sqrt{x-2+4-x}=\sqrt{2}$ (đk : $2\leq x\leq 4$)
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$ ...
Bài 1 : Có $A=(x-1)+\frac{2}{x-1}+1\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{2}{x-1}}+1=2\sqrt{2}+1$ (Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương)
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow x-1=\frac{2}{x-1}\leftrightarrow x-1=\sqrt{2}\leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}$ (do $x>1$ nên $x-1>0$)

Mọi người không biết đã có ai nghe bài này chưa, em thấy nó hay hay mà sao ít lượt like quá.
http://mp3.zing.vn/b...n/ZWZE9668.html

Chứng minh rằng : $A=(7+4\sqrt{3})^{13}+(7-4\sqrt{3})^{13}$ là một số nguyên chia hết cho 14.

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn : $a+b+c=1$. Cmr : $b+c\geq 19abc$

Giải phương trình sau
$\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{2x-5}+\sqrt{2-x}=0$

Ngay khi giải điều kiện đã ra vô nghiệm rồi, bạn xem lại đề xem sao nhé.
đkxđ : $x^4+x^2+2x+1\geq 0$
$2x-5\geq 0\Rightarrow x\geq 2,5$ (1)
$2-x\geq 0\Rightarrow x\leq 2$ (2)
Thấy rõ (1) và (2) mâu thuẫn $\Rightarrow$ pt vô nghiệm.

Tìm x để : $\frac{4(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)^2}$ nhận giá trị nguyên.

Giải pt : $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$

___________________________

Học gõ latex tại đây

Có $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$
$\leftrightarrow x(x+3)-(x+3)\sqrt{x^2+1}=-1$
$\leftrightarrow (x+3)(x-\sqrt{x^2+1})=-1$

$\leftrightarrow (x+3)\frac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=-1$ (do $x+\sqrt{x^2+1}$ khác 0)
$\leftrightarrow (x+3)\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-1$

$\leftrightarrow \frac{(x+3)}{x+\sqrt{x^2+1}}=1$
$\leftrightarrow x+3=x+\sqrt{x^2+1}$
$\leftrightarrow 3=\sqrt{x^2+1}$
$\leftrightarrow 9=x^2+1$
$\leftrightarrow 8=x^2$
$\leftrightarrow x=2\sqrt{2}$ và $-2\sqrt{2}$
Vậy pt có 2 nghiệm $ x=2\sqrt{2}$ và $-2\sqrt{2}$

ap dung AM-GM cho;
$\sum a^{3}+a^{3}+b^{3}\geq \sum 3a^{2}b$
$\Rightarrow \sum 3a^{3}\geq \sum 3a^{2}b$
$\Rightarrow$ $\sum a^{3}\geq \sum a^{2}b$

Sao bạn lại có hướng làm AM-GM kiểu này thế?

Câu 2 : Hình như đề bài là thế này phải không? : $(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)$ với a,b,c ko âm.
Nếu thế thì mình xin giải như sau :
Có : $2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}$ (Cauchy cho 2 số ko âm).
Tương tự như vậy ta được : $2b+a+c\geq 2\sqrt{(b+c)(b+a)}$
$2c+a+b\geq 2\sqrt{(c+a)(c+b)}$
Nhân vế với vế ta được đpcm.

Gợi ý:

Giả sử ngược lại, $\sin 1$ là số hữu tỉ.
Dễ dàng chứng minh được các kết quả chỉ bằng công thức: $\sin 3, \sin 6, \sin 27, \cos 3, \cos 27$ hữu tỉ.
Suy ra $cos(27+3)$ hữu tỉ, điều này vô lý. $\to Q.E.D$

___
NLT

Em thấy rất hứng thú với bài toán này, nhưng em mới học lớp 9 nên chưa hiểu cho lắm, anh có thể giảng kĩ hơn giúp em đc ko ạ? Em cảm ơn.
@tramy : Cảm ơn em đã có tinh thần yêu toán học.