Peter97

Ta có thể làm như sau:

Ta có: $VP=3(a+b+c)^{2}-8=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6(ab+bc+ac)-8$

BĐT cần chứng mình tương đương:

$(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+2abc+4\geq 3(ab+bc+ac)$(1)

Mặt khác:$3(ab+bc+ac)= (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a^{2}b+b^{2}c+ac^{2})+(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+3abc$

(1)$\Leftrightarrow$$(a^{2}c+ab^{2}+bc^{2})+abc\leq 4$(2)

Do vai trò a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có: $a(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow a(b^{2}-bc-ab+ac)\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}-abc-a^{2}b+a^{2}c\leq 0$

$\Leftrightarrow ab^{2}+a^{2}c\leq abc+a^{2}b$

Thế vào (2): VT(2)$\leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a^{2}+c^{2}+2ac)$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}$

$=b(a+c)^{2}=4b(\frac{a+c}{2})^{2}\leq 4(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^{3}(AM-GM 3 số)$

$= 4(\frac{a+b+c}{3})^{3}=4=VP$ (Do a+b+c=3)

Suy ra điều phải cm.

ĐTXR khi a=b=c=1

T ko hiểu chỗ phân tích đó

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y & & \\ y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 & & \end{matrix}\right.$

$(1)\Rightarrow 2x^{2} = 8y - 2y^{2} - 2xy - 2$

Thế vào (2) 

$y(x + y)^{2} = 8y - 2y^{2} - 2xy -2 + 7y + 2\Leftrightarrow y(x + y)^{2} = - 2y( x + y) + 15y$

$y = 0$ ko là nghiệm 

$\Rightarrow x + y = - 5 ; x + y= 3$

Từ đây rễ ràng giải tiêp

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1& & \\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y & & \end{matrix}\right.$

Biến đổi PT (1) ta dc$( x + y)^{2} + \frac{2xy}{x + y} - 2xy - 1 = 0\Leftrightarrow (x + y - 1)(x + y + 1) - 2xy(x + y - 1)= 0\Leftrightarrow (x + y - 1)(x + y + 1 - 2xy)= 0$

Thế vào (2) là ra 

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2& & \\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} & 2x + 1 - \frac{1}{xy} = \frac{2}{x} & \\ & 1 - xy - 2y = \frac{- 2}{y} &\\ \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2x - \frac{2}{x} - \frac{1}{xy} = - 1 & \\ & 2y - \frac{2}{y} + xy = 1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $x + y = a; xy = b \Rightarrow (b - 1)( 2a + b + 1)$ Từ đây rễ ràng suy ra x y

$2\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{2(2x^2-2x+1)}+2x(2x^3-4x^2+3x-1)\geq \frac{7}{4}$

ĐK :$0 \leq x\leq 1$

Đặt : $\sqrt{x( 1 - x)} = a( a\geq 0); \sqrt{2(2x^{2} - 2x + 1)} = b(b\geq 0)$

Để ý thấy $\frac{a^{2}b^{2}}{2} = - 2x^{4} + 4x^{3} - 3x^{2} + x = - x(2x^{3} - 4x^{2} + 3x - 1)$

Từ PT ban đầu $\Rightarrow 2a + b - a^{2}b^{2} - \frac{7}{4}\geq 0$ và $4a^{2} + b^{2} = 2$

Đặt $2a + b = u (u\geq 0); ab = v(v\geq 0) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} & u + v^{2} - \frac{7}{4} \geq 0 & \\ &u^{2} - 4v = 2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (u - 2)^{2}(u^{2} + 4u + 8)\leq 0\Rightarrow u = 2$

$u = 2\Rightarrow 2\sqrt{1(1 - x)} + \sqrt{2(2x^{2} - 2x + 1)} = 2$

Bằng pp đặt ẩn fu $\Rightarrow x = \frac{1}{2}$