DarkBlood

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Gọi $M$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng cắt $(O)$ tại $C$ và $D.$ $AD$ cắt $BC$ tại $I.$ Gọi $E$ là trung điểm $AO.$ Chứng minh tứ giác $EIDB$ nội tiếp.

Bài toán: Chứng minh rằng với $m>3$ thì biểu thức $A=(m-1)^{4}-4m$ không thể viết dưới dạng một số chính phương.

-----------------------------------------------------------

$m>3$ nên $m\geq 4,$ do đó $2m(m-4)+1>0 \Rightarrow (m^2-2m)^2<A$

Lại có $A<(m-1)^4=(m^2-2m+1)^2$

Nên $(m^2-2m)^2<A<(m^2-2m+1)^2$

Từ đó có điều phải chứng minh.

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a\neq 0$ sao cho $\left | f(x) \right |\leq 1$ với mọi $x$ thỏa $-1\leq x \leq 1.$ Chứng minh $4a^2+3b^2\leq 16.$

Tìm tất cả các số nguyên $m\geq 0$ sao cho phương trình
$$x^2-(m-1)^2x+m=0$$ có các nghiệm đều nguyên.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.Chứng minh rằng:

$$P=\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4}$$

Từ giả thiết $ab+bc+ca=abc$

Ta có

$$P=\sum \dfrac{a^3}{a^2+abc}=\sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\sum \dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$\sum \dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{1}{8} \sum \left ( a+b \right )+ \dfrac{1}{8} \sum \left ( a+c \right ) \geq \dfrac{3}{4} \sum a$$

$$\Leftrightarrow P\geq \dfrac{a+b+c}{4}$$

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10: Em xin gửi lại bài làm

Cách 1:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

Phương trình đã cho trở thành

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

Cách 2:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Ta có

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Rightarrow (2x^2+5x-1)^2-49(x^3-1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0\\ 4x^2+3x+5=0 \end{bmatrix}$

Trường hợp 1: 

$x^2-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

Trường hợp 2:

$4x^2+3x+5=0$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

  Hoan nghênh giải nhiều cách nhưng điểm vẫn vậy

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

Phương trình đã cho trở thành

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

$\Leftrightarrow 4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

      d =10

      S =17+10.3=47

Cho $x, y, m$ là các số thực thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} 2x-my=m\\ mx+y=\dfrac{3m^2+4}{m^2+4} \end{matrix}\right.$$

Tìm $\textrm{Max}$ và $\textrm{Min}$ của biểu thức $P=x^3+y^3.$

Cho $0<x \leq 2$ , $0<y \leq 2$, $0<z \leq 2$

Tìm max của:

$A=\frac{x}{4+2y+zx}+\frac{y}{4+2z+xy}+\frac{z}{4+2x+yz}$

Ta có:

Vì $x\leq 2\ ;\ z\leq 2$ nên $(x-2)(z-2)\geq 0 \Leftrightarrow xz\geq 2(x+z)-4$

Do đó $\dfrac{x}{4+2y+zx}\leq \dfrac{x}{2(x+y+z)}$

Chứng minh tương tự, suy ra $A\leq \dfrac{x+y+z}{2(x+y+z)}=\dfrac{1}{2}$

Vậy $\textrm{max}\ A=\dfrac{1}{2}$ khi $x=y=z=2$

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094\ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Đề của 

lenin1999

Bài làm của MSS 10:

Vì $x, y$ nguyên nên $2013x-2011y+2094 \in \mathbb{Z}$ 

Do đó $\sqrt{2025x^2+2012x+3188} \in \mathbb{N}$ $($vì $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}\geq 0)$ 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=k$ $(k\in \mathbb{N})$

Khi đó $2025x^2+2012x+3188=k^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2-(45k)^2=-5443664$

$\Leftrightarrow (2025x-45k+1006)(2025+45k+1006)=-5443664=-2^4.397.857\ \ \ \ \ \ (2)$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $k \in \mathbb{N}$ nên $2025x-45k+1006\ ; 2025x+45k+1006 \in \mathbb{Z}$

Và $2025x-45k+1006\leq 2025x+45k+1006$

Mặt khác $(2025x-45k+1006)+(2025x+45k+1006)$ chia hết cho $2$ nên $2025x-45k+1006$ và $2025x+45k+1006$ cùng tính chẵn lẻ.

Lại có $2025x-45k+1006$ và $2025x-45k+1006$ đều chia $15$ dư $1$

Do đó phương trình $(1)$ tương đương với

Bài này cũng bị lỗi hình vẽ mà anh 

BlackSelena

Diễn đàn hình như bị lỗi, em nộp lại hình cho bài của mình và anh tính điểm nha.
(Trừ nửa số điểm thì to quá @@)
Hình 1:

Hình 2:

Bài mình hiện giờ không có hình là do trang upanh mới ngừng hoạt động, còn lúc anh BlackSelena chấm bài thì vẫn có hình nha bạn

 

Câu 1:

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

 

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 1b: $P(x)\vdots 11 \Rightarrow (x-1)^3\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$

Từ đây chứng minh được $x-1\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$ hay $x\equiv\ 2\ (\bmod\ 11)$

Thử lại thỏa mãn.

Câu 4:

Không mất tổng quát giả sử $E$ nằm trên cung $BF.$

$a)$ $\widehat{ANC}=\textrm{sđ}\widehat{AC}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AB}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AE}=\widehat{EFE}$

Từ đó có điều phải chứng minh.

$b)$ Đường tròn tâm $I$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $P.$

$AO$ cắt $EP$ tại $H,$ $OI$ cắt $PF$ tại $K.$

Ta có: 

$\widehat{FPD}=\widehat{FMD}=\widehat{FAE}=\widehat{FPE}$

Do đó $E, D, P$ thẳng hàng. Mà $ED\parallel BC$ nên $EP\parallel BC.$

Mặt khác $AO\perp BC$ nên $AO\perp EP \Rightarrow \widehat{OHP}=90^{\circ}$

Ta có: $OF=OP, IF=IP$ nên $OI$ là trung trực $PF.$

Nên $OI\perp PF \Rightarrow \widehat{OKP}=90^{\circ}$

Do đó tứ giác $OHKP$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HOK}=\widehat{HPK}=\widehat{EAF}=\textrm{const}$

Từ đó suy ra tia $OI$ cố định. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cho $\Delta ABC$, $BD$ và $CE$ lần lượt là 2 đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh $B$ và $C$. Trên đoạn thẳng $DE$ lấy một điểm M bất kì.Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BC,CA,BA$ lần lượt tại $I,J,K$. Chứng minh rằng trong ba đoạn thẳng $MI,MJ,MK$ có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn còn lại.

Kẻ $DN \perp AB,\ EF \perp AC,\ EH \perp BC,\ DL\perp BC.$ 

Từ định lý Thales, suy ra

$MK+MJ=\dfrac{EM.DN+DM.EF}{DE}$

Mà $EF=EH,\ DN=DL$ 

Nên $MK+MJ=\dfrac{EM.DL+DM.EH}{DE}$

Gọi $O$ là giao điểm $EL$ với $MI.$

Theo định lý Thales, ta có

$OI=\dfrac{IL.EH}{LH}=\dfrac{DM.EH}{DE}$ và $MO=\dfrac{EM.DL}{DE}$

Suy ra $MI=OI+MO=\dfrac{EM.DL+DM.EH}{DE}$

Vậy $MI=MK+MJ$

Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức $$\dfrac{ka}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a}\geq \dfrac{10+k}{2}$$ đúng với mọi số dương $a.$