DarkBlood

Hình bình hành ( sử dụng tc hình bình hành đổ lại )

1) Cho tam giác ABC. Lấy D, E thứ tự thuộc tia đối của tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao của BE và CD. Qua O kẻ đường thẳng // với tia phân giác của góc A và cắt AC ở K. Chứng minh AB = CK.

Vẽ hình bình hành $ABIC$.

Vì $BC = CE$ nên tam giác $BCE$ cân tại $C$ $\Rightarrow$ $\widehat{CBE}=\widehat{CEB}$

$+)$ Ta có: $AE // BI$ nên $\widehat{IBE}=\widehat{CEB}$ $(SLT)$

Do đó: $\widehat{CBE}=\widehat{IBE}$ $\Rightarrow$ $BO$ là tia phân giác $\widehat{CBI}$

Chứng minh tương tự ta được $CO$ là tia phân giác $\widehat{BCI}$

$+)$ Xét tam giác $BCI$, có $O$ là giao điểm hai tia phân giác của $\widehat{CBI}$ và $\widehat{BCI}$ nên $IO$ là tia phân giác $\widehat{BIC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{BIO} = \widehat{OIC} =\frac{1}{2} \widehat{BIC}$

$+)$ Gọi $N$ là giao điểm giữa phân giác góc $BAC$ và $BC.$

Ta có: $\widehat{BAC} = \widehat{BIC}$

Mà: $\widehat{BIO} = \widehat{OIC} =\frac{1}{2} \widehat{BIC}$

$\widehat{BAN} = \widehat{NAC} =\frac{1}{2} \widehat{BAC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{BIO} = \widehat{OIC} = \widehat{BAN} = \widehat{NAC}$

$+)$ Lấy $P$ là giao điểm giữa $IO$ và $AB$

Vì $PB // CI$ nên $\widehat{OIC} = \widehat{P}$ $(SLT)$

Mà $\widehat{OIC} = \widehat{BAN}$ $(cmt)$ $\Rightarrow$ $\widehat{BAN} = \widehat{P}$ $\Rightarrow$ $AN // OI$

Lại có $AN // OK$ $(gt)$ nên 3 điểm $I,$ $O,$ $K$ thẳng hàng.

$\Rightarrow$ $IK // AN$ $($vì $OK // AN)$

$\Rightarrow$ $\widehat{NAC} = \widehat{IKC}$

$\Rightarrow$ Tam giác $KCI$ cân tại $C$

$\Rightarrow$ $CK = CI$

Lại có $AB = CI$ nên $AB = CK$ (đpcm)

Cho $a^{2}$ + $b^{2}$ = 1, $c^{2}$ + $d^{2}$ = 1, ab = cd. Chứng minh rằng ac = bd.

Giúp mình bài này với:
Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}$ và CD=2.AB. Kẻ DH vuông góc với AC tại H. Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh BI vuông góc với DI

Đề sai rồi bạn, chỗ mình gạch chân đấy. Phải là Gọi I là trung điểm của HC chứ.

Đề bài này sai rồi bạn, phải là tính A = $\frac{3^{(a+b)^{2}}}{3^{(a-b)^{2}}}$ biết xy = $\frac{1}{2}$
Giải như sau:
A = $\frac{3^{(a+b)^{2}}}{3^{(a-b)^{2}}}$
A = $\frac{3^{x^{2}+y^{2}+2xy}}{3^{x^{2}+y^{2}-2xy}}$
A = $\frac{3^{x^{2}+y^{2}}.3^{2xy}.3^{2xy}}{3^{x^{2}+y^{2}}}$
A = $3^{2xy}.3^{2xy}$
A = 3.3 = 9

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$ với mọi $n\epsilon N$, n > 0.
$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$ với mọi $n\epsilon N$, n > 0, n lẻ.

đặt x = 111...1 (n chữ số 1)
=> $10^{n}$ = 9x + 1
Ta có: a = x.(9x + 1) + x; b = 10x + 1; c = 6x;
a + b + c + 8 = x.(9x + 1) + x + 10x + 1 + 6x +8
= 9$x^{2}$ + x + x + 10x + 6x +1 +9
= 9$x^{2}$ + 18x + 9
= $(3x+3)^{2}$ (đpcm)