ConanTM

Dãy số 5: $\left\{ {2,5,10,17,25,34,45,58} \right\}$
Em xin được giải thử ạ:
$\left\{ \begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1\,\,\,\,(n \ne 4k) \\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n\,\,\,\,(n = 4k) \\
\end{array} \right.$

Hi, chỗ đó bạn không hiểu là phải vì nó sai mà @_@. Chỗ đó phải là $-17^{n+1} + 16(17a - 1 + 17b +1)$ luôn chia hết cho 17. Vậy ta có thêm một cách nữa. Cách của bạn cũng thật là hay. Nó rất ngắn gọn.
http://mp3.zing.vn/b...u/ZWZDZI86.html

Cách 1: Áp dụng kiến thức về đồng dư: Khi a - b chia hết cho m ta có a và b đồng dư với nhau theo mod m, kí hiệu $a \equiv b\,(\bmod \,m)$.
Nếu $a \equiv b\,(\bmod \,m)$ và $c \equiv d\,(\bmod \,m)$ thì a + c và b + d đồng dư với nhau theo mod m.
Ta có 16 đồng dư - 1 theo mod 17 nên ${16^n} - 1 \equiv {( - 1)^n} - 1\, \equiv \,0(\bmod \,17) \Leftrightarrow {( - 1)^n} = 1$ hay khi và chỉ khi n chẵn.
Cách 2: Áp dụng định lí nhỏ Phéc - ma: Nếu (a, p) = 1 thì ${a^{p-1}} \equiv 1(\bmod \,p)$ với p là số nguyên tố.
Cách chứng minh định lí nhỏ này chỉ cần áp dụng cách hiểu về hệ thặng dư không đầy đủ mod p:
Với (a, p) = 1 ta có: $a.2a.3a...(p - 1)a \equiv 1.2.3...(p - 1)(\bmod \,p) \Rightarrow {a^{p - 1}} \equiv 1(\bmod p)$
Và kết hợp với kiến thức về đồng dư.
Theo Phéc - ma nhỏ ta có: $16^{16} \equiv 1 (mod 17)$
Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: n < 16 thử trực tiếp ta có kết quả là chỉ khi n chẵn thì mới có ${16^n} - 1$ chia hết cho 17.
- Trường hợp 2: Nếu n lớn hơn hoặc bằng 16 thi ta chia n cho 16 và khi đó ta sẽ có: n = 16a + r với $0 \le r < 16$ và ${16^n} - 1 \equiv {16^r} - 1\, \equiv \,0

(\bmod \,17)$. Quay về trường hợp 1, đó là thử trực tiếp cho r lần lượt bằng 0, 1, 2, ..., 15. Khi đó chỉ có r chẵn thì mới có ${16^n} - 1$ chia hết cho 17.
Tóm lại: ${16^n} - 1$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi n chẵn.
-------------------------------------------------------------------
Vấn đề mở của ConanTM đặt ra cho bạn:
Áp dụng định nghĩa : a chia hết cho b khác 0 khi a = b.q.
Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: n lẻ. Biến đổi ta có:
${16^n} - 1={16^n} + 1 - 2=17a - 2$, rõ ràng không chia hết cho 17 (chia cho 17 dư 15).
- Trường hợp 2: n chẵn. Biến đổi ta có:
${16^n} - 1=-{17^{n+1}}+{16^n} + {17^{n+1}} - 1=-{17^{n+1}}+16(17a - 2+17b+1)=17m-16$ => ${16^n} - 1$ không chia hết cho 17???????????
Tại sao trong trường hợp này với cách làm như trên ta lại có khẳng định ngược lại? Sai lầm ở đâu?
http://www.nhaccuatu...?L=ec1cxBTECUyo

Bài toán 7: CMR: với mọi số tự nhiên n, biểu thức $16^{n}-1$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi n là số chẵn. (Giải bằng nhiều cách).
Bài hát 7: http://mp3.zing.vn/b...t/ZW6WE97Z.html

Đề sai rồi anh chị ạ. Với n = 2 ta có điều vô lí.
http://mp3.zing.vn/b...t/ZW6WE98O.html

Lời giải khác của toán thủ ConanTM:
Bổ đề (*): Cho tam giác ONP, các điểm S, R, Q lần lượt thuộc các cạnh ON, NP, PO sao cho SR // PO và RQ // NO.
Khi đó ta có: ${S_{{\rm{OS}}RQ}} \le \frac{1}{2}S$ (Đây chính là bài toán B ở trên)
 MSS T10.JPG   7.04K   97 Số lần tải
Chứng minh:
Đặt: $\frac{{NS}}{{NO}} = \frac{{NR}}{{NP}} = x \Rightarrow \frac{{PR}}{{PN}} = 1 - x$
Vì $\Delta NSR \sim \Delta NOP \sim \Delta RQP(gg) \Rightarrow \frac{{{S_{NSR}}}}{{{S_{NOP}}}} = {x^2};\frac{{{S_{RQP}}}}{{{S_{NOP}}}} ={(1 - x)^2}$
Và do đó: $\Delta NSR \sim \Delta NOP \sim \Delta RQP(gg) \Rightarrow {S_{{\rm{OS}}RQ}} = {S_{NOP}}{\rm{[}}1 - {x^2} - {(1 - x)^2}{\rm{]}} \le
\frac{1}{2}{S_{NOP}}.$ (đpcm)
Trở lại bài toán MSS:
 MSS T10.JPG   14.18K   86 Số lần tải
Gọi I là giao điểm của XW và MN, MG // NJ // YZ với G, J thuộc XW. Đặt: $\frac{{XM}}{{XY}} = x;\frac{{XN}}{{XZ}} = y.$
Không mất tính tổng quát giả sử $x \le y$.
Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: $IM \ge IN$. Khi đó trên tia IM ta lấy điểm L sao cho IL = IN và kẻ LK // NJ với K thuộc XW =>${S_{{\rm{INJ}}}} = {S_{ILK}} \le {S_
{IMG}}$. Khi đó áp dụng bổ đề (*) ta có:
${S_{{\rm{MNPQ}}}} \le {S_{MGWQ}} + {S_{NJWP}} \le \frac{1}{2}({S_{XYW}} + {S_{XZW}}) \le M{\rm{ax}}\left\{ {{S_{XYW}};{S_{XZW}}}
\right\}$ (đpcm)
- Trường hợp 2: IM < IN. Với trường hợp này thì em giải giống hệt như trong lời giải đầu tiên vì em chưa tìm được lời giải nào đơn giản hơn ạ.
Tóm lại bài toán được giải hoàn toàn với cách nhìn đơn giản hơn như trong TH 1.
P/S: Liệu BT có cách giải đơn giản hơn mà không cần dùng tới bổ đề trong lời giải đầu tiên? (Các anh chị giúp em trả lời câu hỏi này với ạ vì em đã suy nghĩ nhiều mà chưa ra được đáp án).