ConanTM

Mở rộng 1 của toán thủ conanTM:
Nếu x ,y là các số nguyên và m là số tự nhiên khác 0 thỏa mãn $mx^2+x=(m+1)y^2+y$ thì ta cũng có:
$(x-y)(mx+my+1)=y^2$ và $(x-y)[(m +1)x+(m +1)y+1)]=x^2$ và do vậy bằng chứng minh tương tự như trong lời giải của bài toán ở trên ta cũng có x - y, mx + my + 1 và (m +1)x + (m + 1)y + 1 đều là số chính phương.

Lời giải của toán thủ conanTM:
Trước hết ta phát biểu và chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu (a, b) = 1 và ab = $c^2$ với a, b, c đều là số tự nhiên thì a và b đều là số chính phương.
Chứng minh bổ đề:
Đặt (a, c) = d. Khi đó: a=md và c = nd; (m, n) = 1. Do đó: mdb = $n^2d^2$ hay mb = $n^2d$
Suy ra:
mb chia hết cho $n^2$ và $n^2d$ chia hết cho b.
=> b chia hết cho $n^2$ (vì (m, n) = 1) và do đó $n^2$ chia hết cho b (vì khi đó (b, d) = (b, a) = 1).
Do vậy: b = $n^2$ và a = $\left ( \frac{c}{n} \right )^2 = d^2$. (đpcm).
Cách khác chứng minh bổ đề:
Đặt: a = $a_1^{p_1}.a_2^{p_2}...a_x^{p_x}.$ và b = $b_1^{q_1}.b_2^{q_2}...b_y^{q_y}.$ với $a_i,b_i$ là các số nguyên tố và $p_k,q_l$ là các số tự nhiên.
Khi đó: $a_1^{p_1}.a_2^{p_2}...a_x^{p_x}. b_1^{q_1}.b_2^{q_2}...b_y^{q_y} = c^2$ => $p_k,q_l$ là các số tự nhiên chẵn và do đó a, b đều là số chính phương.
Trở lại bài toán:
Từ giả thiết: $2x^2+x=3y^2+y$ ta suy ra:
$2x^2-2y^2+x-y=y^2\Rightarrow (x-y)(2x+2y+1)=y^2(1)$
$3x^2-3y^2+x-y=x^2\Rightarrow (x-y)(3x+3y+1)=x^2(2)$
Đặt: a = (x - y, 2x + 2y + 1) thì -2(x -y) + 2x + 2y + 1 = 4y + 1 chia hết cho a và y chia hết cho a (do (1)) => 1 chia hết cho a => a = 1.
Đặt: b = (x - y, 3x + 3y +1) thì 3(x -y) + 3x + 3y + 1 = 6x + 1 chia hết cho b và x chia hết cho b (do (2)) => 1 chia hết cho b => b = 1.
Áp dụng bổ đề ta có x - y, 2x + 2y + 1 và 3x + 3y + 1 đều là số chính phương (đpcm).
----
Điểm bài làm: 10
Tổng điểm: $S=52-(22-20)+3.10+10.10+0=180$