Tienanh tx

Bài là 1 định lý Bottema ^^ Bạn xem bài 30 trong tài liệu này nhé

Bài toán: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB // CD $, $AC > CD$). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I sao cho $\widehat{ACD} = 60^\circ$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $ID,BC$. CMR: $\Delta{BNM}$ cân

Giải phương trình:

a,$2\sqrt[3]{x^{2}}-5\sqrt[3]{x}=3$

b,$x^{3}-3\sqrt{2}x^{2}+3x+\sqrt{2}=0$

b,$x^{3}-3\sqrt{2}x^{2}+3x+\sqrt{2}=0$

$\Longleftrightarrow$ $(x-\sqrt{2})^3 - 3(x-\sqrt{2})=0$

Đặt $x-\sqrt{2}=a$ 

PTTT: $a^3-3a=0$

$\Longrightarrow$ $a(a^2-3)=0$

Đến đây thì dễ rồi ^^

Và đây là cách 4 ^^

$\oplus$ Ta có: 

$\mathbb{PT}$ $\Longleftrightarrow$ $x^4 -x^2 -2006 + x^2 + \sqrt{x^2+2006}=0$

$\Longleftrightarrow$ $(x^2)^2 - (x^2 +2006)  + \left (x^2 + \sqrt{x^2+2006} \right ) = 0$

$\Longleftrightarrow$ $\left( (x^2)^2 - \sqrt{x^2 +2006}^2 \right)  + \left (x^2 + \sqrt{x^2+2006} \right ) = 0$

$\Longleftrightarrow$ $\left( x^2 - \sqrt{x^2 +2006} \right)\left( x^2 + \sqrt{x^2+2006} \right) + \left (x^2 + \sqrt{x^2+2006} \right ) = 0$

$\Longleftrightarrow$ $\left( x^2 + \sqrt{x^2 +2006} \right) \left (  x^2 - \sqrt{x^2 +2006} + 1 \right )=0$

Đặt $x^2=t$,  phương trình trở thành: $\left( t + \sqrt{t +2006} \right) \left (  t - \sqrt{t+2006} + 1 \right )=0$

$\Longrightarrow$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - t = \sqrt {t + 2006} (\bigstar)}\\ {t +1 = \sqrt {t + 2006} (\bigstar \bigstar)}\end{array}} \right.$

$\oplus$ Ta có: $(\bigstar)$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} t \leq 0& \\ t^2-t-2006=0& \end{matrix}\right.$

Bài 1   :  (2 điểm)

1/ Chứng minh $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ với x > 1

 

Cách khác cho câu $1a$

 

$\oplus$ Ta có: $\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = \sqrt {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}  = \sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{2}{x} - \frac{2}{{x(x - 1)}}} \right) + \frac{2}{x} + \frac{2}{{x(x - 1)}} - \frac{2}{{x - 1}}}  = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}} \right)}^2} + \frac{2}{x} + \frac{2}{{x(x - 1)}} - \frac{2}{{x - 1}}}$

Mà $\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x(x-1)}  + \dfrac{2}{x-1} = 0$

$\Longrightarrow$ $\sqrt {1 + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}}  = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}} \right)}^2}}  = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{1}{x}$

Câu 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-6(x+y)=-8 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

 

Solution:

 

$\oplus$ Ta có: 

$HPT \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-6(x+y)=-8 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \left[ (x+y)^{2}-6(x+y)+9\right]  -1 = 0 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \left( x+y+3 \right)^2  = 1 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}  x+y+3   = 1 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}  x+y   = -2 \\ x-y=6 \end{matrix}\right.$

 

Tới đây thì khá dể rồi   

Câu 4: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2\sqrt{3}x+3}+2x=4\sqrt{3}$

 

Solution:

$\oplus$ Ta có:$\sqrt{x^{2}+2\sqrt{3}x+3}+2x=4\sqrt{3}$

$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{(x  + \sqrt{3})^2} + 2x = 4\sqrt{3}$

$\Longleftrightarrow$ $|x + \sqrt{3}| + 2x =4\sqrt{3}$

$\oplus$ Với $x \ge -\sqrt{3}$ $\Longrightarrow$ $x=\sqrt{3}$

$\oplus$ Với $x \leq  -\sqrt{3}$ $\Longrightarrow$ $x=5\sqrt{3}$ (loại)

$\Longrightarrow$ $x=\sqrt{3}$

 

 

Mình úp thêm một số bài toán tính tổng, các bạn tha hồ giải nhé 

 

$\boxed{13}$ Chứng minh rằng $A=1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + ... + n^5 = \dfrac{1}{2}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$

 

$\boxed{14}$ Chứng minh rằng $A=1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

 

$\boxed{15}$ Tính tổng: $A=1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k$ $(k > 0 )$

 

$\boxed{16}$ Tính tổng: $A= 1! + 2.(2!) + 3.(3!) + 4.(4!) + 5.(5!) + ... + n.(n!)$ với ($n! = 1.2.3.4.5. .... n$)

 

$\boxed{17}$ Tính tổng: $A= 1 + 2p + 3p^2 + ... (n+1)p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{18}$ Chứng minh công thức: $k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)= 4k(k+1)(k+2)$. 

 

$\boxed{19}$ Tìm $x$: 

 $a,$ $(x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 5070$

 $b,$ $1+2+3+4+... + x = 820$

 $c,$ $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{2}{{x(x + 1)}} = \frac{{1991 + 1989}}{{1991}}$

 

$\boxed{20}$ Tính tổng: $A=\frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ..... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}$

 

$\boxed{21}$ Tính tổng: $A=1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n(3n-1)$

 

$\boxed{22}$ Tính tổng: $A=1 + p + p^2 + p^3+ p^4 + ... + p^n$ $(p \neq 1)$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $A = \frac{3}{{{{(1.2)}^2}}} + \frac{5}{{{{(2.3)}^2}}} + ....... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left[ {n(n + 1)} \right]}^2}}}$

 

$\boxed{23}$ Tính tổng: $ A = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ...... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}$

d) Tìm $x$ biết $(4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}).x=2^{22}-2^{21}$

Lời giải: 

 

$\oplus$ Ta có: $4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}$

           $= 2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{20}$

           $=2.2^2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{20}$

           $=2^3 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

           $=2.2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

           $=2^4 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^{20}$

                     $ \cdots \cdots \cdots \cdots $

           $= 2^{20} + 2^{20}$

           $=2.2^{20}$

           $=2^{21}$

$\Longrightarrow$ $4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}=2^{21}$  $(1)$

$\oplus$ Ta có: $2^{22} - 2^{21} = 2^{21} . 2 - 2^{21} = 2^{21} (2-1) = 2^{21}$
$\Longrightarrow$ $2^{22} - 2^{21} = 2^{21}$ $(2)$

$\oplus$ Từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow$ $\mathbf{PTTĐ} = (4+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}).x=2^{22}-2^{21}$

                           $\Longleftrightarrow$ $2^{21} . x = 2^{21}$

                           $\Longrightarrow$ $x=1$

                           $\Longrightarrow$ $QED$

c) $K=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35$

 

c, $\oplus$ Ta có: $\left\{\begin{matrix}K=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35& \\ K=35 + 32+ 29+26+23+20+17+14+11+8+5+2& \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $2K = (2+35) +(5+32) + (8+29) + ...+ (8+29) + (5+32) + (35+2) = \underbrace{37+37+37+...+37}_{12 số hạng}$

$\Longrightarrow$ $2K = 12.37 = 444$

$\Longrightarrow$ $K=222$

Ở đây rồi nhé

b) Chứng minh $2A+3$ là luỹ thừa của $3$ với $A=3+3^2+3^3+...+3^{100}$

$\oplus$ Ta có: $A=3+3^2+3^3+...+3^{100}$

$\Longleftrightarrow$ $3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101}$

$\oplus$ Ta có: $3A-A = (3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101}) - (3+3^2+3^3+...+3^{100})$

$\Longleftrightarrow$ $2A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^{101} - 3-3^2-3^3-...-3^{100}$

$\Longleftrightarrow$ $2A = 3^{101}-3$

$\Longleftrightarrow$ $2A + 3 = 3^{101}$

$\Longrightarrow$ $Q.E.D$

Bài tập đề nghị

a) Tìm $x$ biết $\frac{1}{5.8}+\frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

Đề phãi thế này chứ nhỉ: Tìm $x$ biết $\frac{1}{5.8}+ \dfrac{1}{8.11} + \frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

Lời giải:

 

$\oplus$ Ta có: $\frac{1}{5.8}+ \dfrac{1}{8.11} + \frac{1}{11.14}+...+\frac{1}{x(x+3)}=\dfrac{101}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\frac{3}{5.8}+ \dfrac{3}{8.11} + \frac{3}{11.14}+...+\frac{3}{x(x+3)}=\dfrac{3.101}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\left ( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} \right) + \left ( \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{11} \right) + \left ( \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{14} \right) + ... + \left ( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+3} \right) = \dfrac{303}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $ \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{303}{1540}$

$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{1}{x+3} = \dfrac{1}{308}$

$\Longrightarrow$ $x=305$

Một cách làm khác cho bài này ở đây

 

Phương pháp chung để giải các Bài $1,2,3$ là đặt mổi số $k^m$ ($m=1,2,3$) dưới dạng $k^m = b_{k+1} -b_k.$  Vậy tìm $b_k$ như thế nào? Có rất nhiều cách để tìm $b_k$ nhưng cách tốt nhất là chọn $b_k$ là một đa thức bậc $(m+1)$ theo biến $k$, hay viết lại theo biến $x$ là $x^m = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

 

 

-------------------------------------------

 

 

1. Ta tìm đa thức bậc $2$:  $P(x) = ax^2 + bx + c$ sao cho:  $x= P(x+1) - P(x)$ $(1)$

$\Longleftrightarrow$ $x=a(x+1)^2 + b(x+1)  + c -ax^2 - bx - c = a(2x+1) + b = 2ax + a + b$

$\Longrightarrow$ $x=2ax+a+b$

$\Longleftrightarrow$ $0 = (2a-1)x + a+ b$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2a-1=0& \\ a+b=0& \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}& \\ b=\dfrac{-1}{2}&\end{matrix}\right.$

Do đó: $P(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x$

Từ $(1)$ $\Longrightarrow$ $1=P(2) - P$

                     $2=P(3) - P$

                     $3=P(4) - P$

                               $. . . $

$\Longrightarrow $ $A=1+2+3+4+...+n = P(n+1) - P = \dfrac{1}{2}(n+1)^2 + \dfrac{1}{2} (n+1) = \dfrac{1}{2}n(n+1)$

#Chú ý:Ta cũng có thể giải một cách đơn giãn như sau: 

$\left\{\begin{matrix}A=1+2+3+...+n& \\ A= n + (n-1) + ...+1& \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $2A =  \underbrace{(n+1) + (n+1) + (n+1) +... + (n+1)}_{n số hạng} = n (n+1)$

$\Longrightarrow$ $A= \dfrac{1}{2}n(n+1)$

 

 

-------------------------------------------

 

 

2, Ta tìm đa thức bậc $3$ : $P(x) = ax^3 + bc^+ cx^3 +d$ sao cho $x^2 = P(x+1) - P(x)$ $(2)$

$\Longleftrightarrow$ $x^2 = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d - ax^3 -bx^2 -cx -d $

               $=a(3x^2 + 3x +1) + b(2x+1) +c$

               $=3ax^3  + (3a+2b)x + a+b+c$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}3a=1&  & \\ 3a+2b=0&  & \\ a+b+c=0&  & \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a= \dfrac{1}{3}&  & \\ b = \dfrac{-1}{2}&  & \\ c=\dfrac{1}{6}&  & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $P(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x$

Từ $(2)$ $\Longrightarrow$ $1^2=P(2) - P(1)$

                     $2^2=P(3) - P(2)$

                     $3^2=P(4) - P(3)$

                               $. . . $

                     $(n-1)^2= P(n) - P(n-1)$

                     $n^2 = P(n+1) - P(n)$

$\Longrightarrow$ $B = 1^2 + 2^2 +...+ n^2 =  P(n+1) - P(1) $

                                                   $=(n+1)^3  - (n+1)^2 + (n+1)$

                                                   $= (n+1) \left[2(n+1) - 3 (n+1) +1 \right ]$

                                                   $=(n+1)(2x^2 +n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

 

-------------------------------------------

 

Ta tìm đa thức bặc $4$: $P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ sao cho $x^3 = P(x+1) - P(x)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ $(3)$

$\Longleftrightarrow$ $x^3 = a(x+1)^4 + b(x+1)^3 + c(x+1)^2 + d(x+1) + e -ax^4 -bx^3 - cx^2 -dx -e$

               $=a(4x^3+6x^2 + 4x+1) + b(3x^2 + 3x +1) +c(2x+1) +d$

               $=4ax^3 + (6a+3b)x^2 + (4a+3b+2c)x + a+b+c+d$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}4a=1&  &  & \\ 6a+3b=0&  &  & \\ 4a+3b+2c=0&  &  & \\ a+b+c+d=0&  &  & \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{4}&  &  & \\ b=\dfrac{-1}{2}&  &  & \\ c=\dfrac{1}{4}&  &  & \\ d=0&  &  & \end{matrix}\right.$

Do đó $P(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{4}x^2= \dfrac{1}{4}x^2(x-1)^2$

Từ $(3)$ $\Longrightarrow$ $1^3=P(2) - P(1)$

                     $2^3=P(3) - P(2)$

                     $3^3=P(4) - P(3)$

                               $. . . $

                     $n^3 = P(n+1) - P(n)$

                    

Vậy $C=1^3+2^3 +3^3 + ... + n^3 = P(n+1) -P(1) = \dfrac{1}{4}(n+1)^2n^2$

 

#Chú ý: Ta có: $C = A^2$ hay $1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+3+...+n)^2$