Đến nội dung

BlueKnight

BlueKnight

Đăng ký: 23-09-2012
Offline Đăng nhập: 27-04-2021 - 16:09
*****

#432256 Tính các góc tam giác ABC

Gửi bởi BlueKnight trong 02-07-2013 - 11:26

$AB=r \sqrt 2 \Rightarrow sd cung AB=90^ \circ \Rightarrow \widehat {ACB}=45^ \circ$

$AC=r \sqrt 3 \Rightarrow sd cung AC=120^ \circ \Rightarrow \widehat {ABC}=60^ \circ$

$\widehat {BAC}=180^ \circ-45^ \circ-60^ \circ=75^ \circ$




#432203 Cho A, B là hai điểm cố định trên (O). C là điểm chính giữa cung AB....

Gửi bởi BlueKnight trong 02-07-2013 - 08:10

untitled.JPG

a)$\Delta CAM \sim \Delta CDA (g.g) \Rightarrow \frac {CA} {CD}=\frac {CM} {CA} \Rightarrow AC^2=CM.CD$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMD$

    Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $(O)$

Do $AC^2=CM.CD \Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\Rightarrow AC \perp AI$ hay $AC \perp AE \Rightarrow E$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$

$\Rightarrow E$ cố định

$\Rightarrow I \in AE$ cố định.

c)Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BMD$

$CMTT$ câu b ta được $K \in BE$ cố định

$\Delta AIM$ cân tại $I$ và $\Delta AEB$ cân tại $E$ có $\widehat {BAE}$ chung

$\Rightarrow \widehat {AMI}=\widehat {ABE} \Rightarrow MI \parallel KE$

Tương tự $MK \parallel IE$

$\Rightarrow MIEK$ là hình bình hành

$\Rightarrow KE=IM=R_1$

$\Rightarrow R_1+R_2=KB+KE=BE=const (dpcm)$




#431707 Chứng minh B,C,S,D thuộc một đường tròn

Gửi bởi BlueKnight trong 29-06-2013 - 22:18

untitled.JPG

Đầu tiên bạn đi chứng minh $BC=DN$ và $CT=CN$

$\Delta SCN=\Delta SCT (c.c.c) \Rightarrow \widehat {SNC}=\widehat {STC}=\widehat {SCT}$

$\Rightarrow \Delta SCB=\Delta SND (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {SBC}=\widehat {SDC}$

$\Rightarrow BSCD$ nội tiếp

$\Rightarrow dpcm$. :icon6:




#431541 Chứng minh AM là tiếp tuyến

Gửi bởi BlueKnight trong 29-06-2013 - 11:17

c) Ta có $\widehat {AMN}=\widehat {ABM} (do cung AM=cung AN)$

$\Rightarrow \Delta AMF \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AM^2=AF.AB$

Mà $BDHF$ nội tiếp $\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

$\Rightarrow AM^2=AH.AD \Rightarrow AM$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHD$




#430984 $\frac{2}{AK}=\frac{1}{AD...

Gửi bởi BlueKnight trong 27-06-2013 - 13:03

untitled.JPG

Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

$\Delta AIK \sim \Delta AHO (gg)$

$\Rightarrow AK.AH=AI.AO=AC^2=AD.AE$

$\Leftrightarrow AK.AH=AE.(AD+AE-AE)=AE.(AD+AD+2HD-AE)=AE.(2AD+2HD-AE)=AE.(2AH-AE) =2AH.AE-AE^2$

$\Rightarrow AE^2+AK.AH=2AH.AE$

Chia 2 vế cho $AH.AE$

$\Rightarrow \frac {AE} {AH}+ \frac {AK} {AE}=2$

Mà $AK.AH=AD.AE \Rightarrow \frac {AE} {AH}=\frac {AK} {AD}$

$\Rightarrow \frac {AK} {AD}+\frac {AK} {AE}=2$

Hay $\frac {2} {AK}=\frac {1} {AD}+\frac {1} {AE}$




#430964 Tìm vị trí của M sao cho S MPQ nhỏ nhất

Gửi bởi BlueKnight trong 27-06-2013 - 11:40

Dễ thấy $\Delta MPQ$ cân tại M

$S_{MPQ}=2S_{MOP}=OC.MP=R.MP$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$MP=MC+CP \geq 2\sqrt {MC.CP}=2\sqrt {OC^2}=2\sqrt {R^2}=2R$

$\Rightarrow S_{MPQ} \geq R.2R=2R^2$

$Min S_{MPQ}=2R^2 \Leftrightarrow MC=CP=R \Leftrightarrow OM=R\sqrt 2 \Leftrightarrow M$ là giao điểm của $(O; R\sqrt 2)$ với đường thẳng $d$. 

P/S: sao mình không dùng đến điểm H nhỉ?




#429995 Tìm vị trí $O$ sao cho $AQ^2+BR^2+CP$ nhỏ nhất

Gửi bởi BlueKnight trong 23-06-2013 - 15:50

Từ điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$.Kẻ $OP$  vuông góc $BC$ tại $P$, kẻ $OR$ vuông góc với $AB$ tại $R$, $OQ$ vuông góc $CA$ tại $Q$.

a) Chứng minh : $AB^2+BC^2+CA^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

b) Tìm vị trí $O$ sao cho $AQ^2+BR^2+CP^2$ nhỏ nhất  

Câu a hình như bạn ghi nhầm. Mình nghĩ là $AQ^2+BR^2+CP^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

Bạn có thể tham khảo tại đây: http://diendantoanho...ất/#entry427372




#429043 Giải hệ phương trình $(3-\frac{5}{y+42x})\...

Gửi bởi BlueKnight trong 19-06-2013 - 22:29

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (3-\frac{5}{y+42x})\sqrt{2y}=4\\ (3+\frac{5}{y+42x})\sqrt{x}=2 \end{matrix}\right.$




#428136 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014 (toán chuyên)

Gửi bởi BlueKnight trong 17-06-2013 - 11:22

untitled.JPG Mình xin chém bài 6 nha:

a)Dễ thấy K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ nên AK là p/g trong $\widehat{BAD}$  (1)

$\Delta ABD$ có BL là p/g trong $\widehat{ABD}$ và DL là p/g ngoài $\widehat{ADB}$ nên L là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{ABD}$ của $\Delta ABD$ $\Rightarrow$ AL là p/g ngoài $\widehat{BAD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AK\perp AL$ nên $\widehat{KAL}=90^{\circ}$

Mà DK, DL là p/g trong và ngoài $\widehat{ADB}$ nên $\widehat{KDL}=90^{\circ}$

Vậy AKDL nội tiếp đường tròn đường kính KL

b) Chứng minh dễ dàng $\widehat{AIC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2}$

$\Delta AIJ$ cân tại J nên $\widehat{AJI}=180^{\circ}-2\widehat{AIJ}$

Tương tự $\widehat{CJI}=180^{\circ}-2\widehat{CIJ}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AJC}=360^{\circ}-2\widehat{AIC}=360^{\circ}-2(90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2})=180^{\circ}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{AJC}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABCJ nội tiếp

$\Rightarrow$ $J\epsilon (O)$ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Mà $JA=JC$ (J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC)

$\Rightarrow$ BJ là p/g $\widehat{ABC}$

Mà BI cũng là p/g $\widehat{ABC}$

Vậy B,I,J thẳng hàng




#415217 Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn (O), trực tâm...

Gửi bởi BlueKnight trong 28-04-2013 - 12:06

Cho $\Delta ABC$ nhọn (AB>AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) CMR: Tứ giác BFEC nội tiếp

b) Vẽ đường kính AK. CMR: Tứ giác BHCK là hình bình hành

c) Gọi M là giao điểm của AD và EF, N là giao điểm của AK và BC

CMR: MN // HK

kẻ KJ vuông góc với BC tại J$\Rightarrow KJ=HD$

FC,FA lần lượt là pg trong và ngoài $\Delta DMF$ $\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{MH}{HD}\Leftrightarrow \frac{AM}{MH}=\frac{AD}{HD}=\frac{AD}{KJ}$ mà $KJ\parallel AD\Rightarrow \frac{AD}{KJ}=\frac{AN}{NK}$

Nên $\frac{AM}{MH}=\frac{AN}{NK}\Rightarrow MN\parallel HK$$\frac{AM}{MH}=\frac{AN}{NK}\Rightarrow MN\parallel HK$

P/S: sáng mình học chung vs bạn đó




#399988 $(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1...

Gửi bởi BlueKnight trong 25-02-2013 - 20:40

Rõ hơn là ngay dòng trên tương đương thêm một dòng là:
$(x-1+\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}})^2=9$
$\Longrightarrow ...$

bạn nhầm rồi phải là $\left [ \left ( x-1 \right )\sqrt{\frac{x-3}{x-1}} +1\right ]^{2}=9$
mình có 1 cách giải gọn hơn nè:
Đặt y=$\left ( x-1 \right )\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}$. PT trở thành:
$y^{2}+2y-8=0$.Giải ra tìm y rồi từ đó tìm x


#399887 $x+y=\sqrt{4z-1}$

Gửi bởi BlueKnight trong 25-02-2013 - 13:01

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1}\\ y+z=\sqrt{4x-1}\\ z+x=\sqrt{4y-1} \end{matrix}\right.$


#394787 Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}...

Gửi bởi BlueKnight trong 08-02-2013 - 11:58

Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$


#392822 Tìm min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}...

Gửi bởi BlueKnight trong 03-02-2013 - 15:35

Cho 0<b<a,$a^{2}+b^{2}=1$.Tìm min của:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}$


#384170 Tìm max A=x+y-z

Gửi bởi BlueKnight trong 06-01-2013 - 15:52

Bài 1: Cho x,y,z$\geqslant$0 thỏa hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 4x-4y+2z=1\\ 8x+4y+z=8 \end{matrix}\right.$
Tìm Max A=x+y-z
Bài 2: Tìm trên trục tung các điểm có tung độ nguyên sao cho nếu qua điểm đó ta dựng đường vuông góc với trục tung thì đường vuông góc ấy cắt 2 đường thẳng (d):x+2y=6 và (d'): 2x-3y=4 tại điểm có tọa độ là các số nguyên