IloveMaths

 

Ngày thi: 10/10/2013

Thời gian: 180 phút 

 

Câu 1. (4 điểm)

Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=\sqrt[3]{3x-2}+(3x-2)$

    Đến đây là Ok rùi 

 

Câu II

 

 

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

  Chém thêm bài BĐT

$Q.E.D\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}+\sum a^2-\sum ab\geq 2.\sum a^2\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq \sum a^2+\sum ab$

Theo Cauchy-Swarch :

$4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq 4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}$

Do đó ta cần chứng minh :

$4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \sum a^2+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab\Rightarrow Q.E.D$

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho 

$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$

 

 

   chém ngay bài đầu 

a) 

Ta có : $7^{20}+2^{70}=49^{10}+128^{10}\equiv (-1)^{10}+(-2)^{10}\equiv 0mod5$

b)

$xy-1\vdots z ;zy-1\vdots x ;xy-1\vdots z$$\Rightarrow (xy-1)(yz-1)(zx-1)\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\geq xyz$

Dễ dàng chứng minh $xy+yz+zx-1<3xyz$

Do đó :

$1\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{xyz}<3$

Từ đó dễ dàng tìm được     

thử phát        

-Nếu $x< 0$ thì $2^x< 1= > 2^x< (\sqrt{3})^x+1$(vô lý).

-Nếu $x\geq 0$.

Chia cả 2 vế cho $2^x$ nên pt $< = > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x=1$

+Nếu x=2$= >$ thoả mãn.

+Nếu $x> 2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x<(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x< (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{x})^2< (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý do trái với giả thiết)

+Nếu $x< 2$ thì $(\frac{\sqrt{3}}{2})^x>(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x> (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x> (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý) 

    Vậy x=2

   sai rồi 

cho $x=0,5$