IloveMaths

Cho $x,y,z$  là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$

 

Ngày thi: 10/10/2013

Thời gian: 180 phút 

 

Câu 1. (4 điểm)

Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=\sqrt[3]{3x-2}+(3x-2)$

    Đến đây là Ok rùi 

 

Câu II

 

 

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

  Chém thêm bài BĐT

$Q.E.D\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}+\sum a^2-\sum ab\geq 2.\sum a^2\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq \sum a^2+\sum ab$

Theo Cauchy-Swarch :

$4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq 4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}$

Do đó ta cần chứng minh :

$4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \sum a^2+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab\Rightarrow Q.E.D$

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho 

$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$

 

 

   chém ngay bài đầu 

a) 

Ta có : $7^{20}+2^{70}=49^{10}+128^{10}\equiv (-1)^{10}+(-2)^{10}\equiv 0mod5$

b)

$xy-1\vdots z ;zy-1\vdots x ;xy-1\vdots z$$\Rightarrow (xy-1)(yz-1)(zx-1)\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\geq xyz$

Dễ dàng chứng minh $xy+yz+zx-1<3xyz$

Do đó :

$1\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{xyz}<3$

Từ đó dễ dàng tìm được     

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút

 

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

chém tí 

Xét phương trình đặc trưng : $\lambda ^2-7\lambda +12=0\Leftrightarrow \lambda =3\vee \lambda =4$

Do đó ta có nghiệm riêng của phương trình là $u_{n}^{*}=\frac{2.5^n}{25-7.5+12}=\frac{2.5^n}{2}=5^n\Rightarrow$ số hạng tổng quát của dãy là :

$u_{n}=\alpha. 3^n+\beta .4^n+5^n$

Từ $u_{0}=4;u_{1}=15$$\Rightarrow x_{n}=2.3^n+4^n+5^n$

Do đó $u_{2013}=2.3^{2013}+4^{2013}+5^{2013}\equiv 1 mod 11$

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (NGHỆ AN)

Ngày thứ nhất (11.10.2011)

Bài 3.(4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi K là giao điểm của phân giác góc A của tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE (K khác A). Chứng minh rằng hai tam giác BHK và CHK có diện tích bằng nhau.

 

   chém tí 

Dê dàng chứng minh AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE 

Gọi $DK\cap BH=M;EK\cap CH=N;AC\cap BH=S;AB\cap CH=F$

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 4:

a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:

 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

 

 

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$

---Hết---

 

chém thêm mấy bài nữa 

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

 bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K  

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$

 

 

Chém bài dễ nhất     

$f(x)+x.f(1-x)=x^2(*)$

Thay x bởi 1-x ta được 

$f(1-x)+(1-x).f(x)$$=(1-x)^2$$\Rightarrow x.f(1-x)+x(1-x).f(x)=x.(1-x)^2(**)$

Trừ theo vế (**) cho (*) ta được :

$f(x).(x-x^2-1)=x(1-x)^2-x^2=x^3-3x^2+x\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-3x^2+x}{x-x^2-1}$

Thử lại thấy thỏa mãn   

Hình vẽ

  Giải như sau : 

$\overrightarrow{AN}=\frac{BN}{BC}.\overrightarrow{AC}+\frac{CN}{BC}.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AM}=\frac{EM}{EF}.\overrightarrow{AF}+\frac{MF}{EF}.\overrightarrow{AE}=\frac{EM.AF}{EF.AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{FM.AE}{EF.AC}.\overrightarrow{AC}$

Ta chứng minh :

$\frac{BN}{BC}.\frac{FE.AC}{FM.AE}=\frac{CN}{BC}.\frac{EF.AB}{EM.FA}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BN.EM}{CN.MF}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}.\frac{ED}{DF}$

 Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi   

Vậy A,M,N thẳng hàng 

Bài toán: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (I). $AI\cap BC=A'$

Gọi d là đường trung trực của AA' . $BI\cap d=M;CI\cap d=N$

Chứng minh tứ giác ANIM nội tiếp .

Cho $\Delta ABC$ cân tại A, nội tiếp trong (O). D là trung điểm của AB và G là trọng tâm của $\Delta ACD$.

 

CMR: OG vuông góc với CD

   Giải như sau :

$\overrightarrow{OG}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{CD})+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{DA}+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow 3.AO.AD.cos\frac{A}{2}=CB.CD.cos\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.AO.AD=CB.CD$

$\Leftrightarrow 3.AO.AD.sin\frac{A}{2}=CB.CD.sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.S_{\Delta ADO}=S_{\Delta BDC}(=\frac{1}{2.S_{\Delta ABC}})$

vậy OG vuông góc với CD 

$\Rightarrow Q.E.D$

Cho tam giác $ABC$. $A',B',C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $O_1=AA'\cap BB'$' $O_2=AA'\cap CC'$' $O_3=BB'\cap CC'$. Giả sử $O_1,O_2,O_3$ lần lượt nằm trên đường trung trực của $AB,AC,BC$. Tính $P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}$

 Thấy thế nào ấy     

 Giải như sau :

Do $O_{1};O_{2};O_{3}$ lần lượt  nằm trên đường trung trực của AB,AC,BC nên ta đặt :

$\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=\alpha ;\angle ACO_{2}=\angle CAO_{2}=\beta ;\angle BCO_{3}=\angle CBO_{3}=\gamma$

Do đó :

$P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}=\frac{sin\alpha .sin\gamma .sin\beta }{sin\beta .sin\alpha .sin\gamma }=1\Rightarrow P=1$

Do $\frac{A'B}{A'C}=\frac{AB.AA'.sin\alpha }{AC.AA'.sin\beta }$

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN  của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$

$a^4+b^4+c^4+1+1+1+1+1+1+1+1+1\geq 4a+4b+4c$

$a^4+b^4+c^4+1\geq 4abc$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a+b+c+abc)-10=6\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$

   Bạn giải chi tiết hơn được không! Hình như $m,n\in \mathbb{Z}$ không quy nạp được!!!!!!  

Cho m=0 ; n=-1 suy ra f(0)= 1 và f(-1) = 2

Từ đó , cho m=n=1 suy ra f(-2)=5

Tiếp tục cho m= -1 ; n= 1 suy ra f(1)=2

Ta quy nạp :  $\forall n\epsilon N$

f(n)=$n^2+1$

f(0)=1  ;    f(1)= 2 

giả sử $f(n)=n^2+1 ; f(n+1)=(n+1)^2+1$

Ta Chứng minh $f(n+2)$=$(n+2)^2+1$

Cho m= 1 , thay n bằng n+1

$f(n+2)+f(n)=f(n+1).f(1)+2\Rightarrow f(n+2)=(n+2)^2+1$

Vậy $\forall n\epsilon N$

f(n)=$n^2+1$

Tương tự quy nạp $f(-n)=(-n)^2+1$ và $f(-n)=(-n)^2+1\forall n\epsilon N^{*}$

( sử dụng $m=1$ và thay n bằng -n-1)

Vậy $f(n)=n^2+1\forall n\epsilon Z$

Thử lại thấy thỏa mãn 

Tìm hàm số $f(x)$ lên tục trên R thỏa mãn $f(0)=2013$ và $f(2013x)=f(x)+x$

 Giải như sau