ilovelife

Cho một bàn cờ $3 \times 4$ được đánh số như sau:

\begin{matrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9\\
10 & 11 & 12\\
\end{matrix}

Dòng đầu đặt 3 mã đen, dòng cuối đặt 3 mã trắng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lượt để chuyển đổi chỗ mã trắng và đen ?

Với $a \in [2,6],\ b \in [3,7],\ c \in [4,8]$, tính số nghiệm nguyên của phương trình (không tính các hoán vị):
$1.\ \ \ a + b + c = 18 $

$2.\ \ \ a + b + c = k   $

$k$ nhận giá trị nào để số nghiệm nguyên của phương trình là lớn nhất, nhỏ nhất

Theo tính toán sơ bộ của mình thì kết quả lần lượt là:

10, 15, (21 hoặc 9)

_{a) Cho $2012$ điểm trên mặt phẳng. Chứng minh tồn tại hình vuông chứa đúng $1006$ điểm}

_{b) Cho $(m + n)$ điểm trên mặt phẳng. Tồn tại hay không hình vuông chứa đúng $m$ điểm ? Chứng minh.}

Bài 1: Cho $A,B,C,D$ lần lượt là $4$ đỉnh của một hình vuông. Một người muốn làm con đường kết nối $4$ điểm này, nhưng do thiếu kinh phí ông ta phải nghĩ ra 1 con đường ngắn nhất. Hãy giúp ông ta làm điều đó.
 
 
Bài 2 (khá dễ): Cho $(O;1)$ và các điểm $A_1,\ A_2,\ A_3,\ldots,\ A_n$ trên mặt phẳng.
Chứng minh tồn tại điểm $I$ nằm trên $(O)$ sao cho $IA_1 + IA_2 + IA_3 +...+ IA_n \ge n$

Cho $P$ nằm trong $(O;R)$. Dây $AB \perp CD \equiv P$. Gọi $K$, $I$ là trung điểm của $OP$, $BC$. 

Chứng minh $\overline {IK}$ không đổi (khi $P, O, R$ cố định)