hoangkkk

Cho tam giác ABC.tìm max

P=-( $\sqrt{3} $cos2A+2cos2B+2 . $\sqrt{3}$ cos2C)

 

Đề đúng thế này phải không bạn :

Cho tam giác $ABC$ . Tìm $\max$ :

$$P=\sqrt[3]{\cos 2A}+\sqrt[3]{\cos 2B}+\sqrt[3]{\cos 2C}$$

Bài 31 : Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P= \sqrt{2+\dfrac{2x^2}{\left(x +y \right)^2}-\dfrac{2z \left(2y+z \right)}{\left ( y+z \right)^2}}+\dfrac{3z}{z+x}$$

 1. Họ và tên thật                :          Phạm Văn Hoàng

 

2. Học sinh lớp                   :          12A2 chuyên tin

    Trường                          :          THPT chuyên Phan Bội Châu

    Huyện/Thành phố          :          Vinh

    Tỉnh                                :          Nghệ An

 

3. Đề bài

 

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right) : x^2+y^2-2x-4y+4=0$ và đường thẳng $\left( d \right) : x-y-1=0$. Từ $M$ thuộc $\left( d \right)$ kẻ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến $\left (T \right)$, trong đó $A$, $B$ là các tiếp điểm. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

4. Lời giải

 

Phương trình đường tròn : $\left (x-1 \right)^2+\left(y-x \right)^2=1$

Gọi tọa độ các điểm là : $A \left(x_1, y_1 \right)$, $B \left( x_2, y_2 \right)$, $M \left(x_0, y_0 \right)$

Tiếp tuyến tại $A$ qua $M$ của đường tròn có dạng :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x_1-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y_1-2 \right) = 1$$

Tiếp tuyến tại $B$ qua $M$ của đường tròn có dạng :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x_2-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y_2-2 \right) = 1$$

Dễ thấy cả $A$ và $B$ đều thỏa mãn phương trình :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y-2 \right) = 1$$

Phương trình trên chính là phương trình đường thẳng $AB$, mặt khác do $M$ thuộc $d$ nên có $M \left( x_0, y_0 \right) = \left( x_0, x_0-1 \right)$, thay lên phương trình trên ta thu được :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(x_0-3 \right) \left(y-2 \right)=1$$

Gọi $N \left(x, y \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $AB$ luôn đi qua với mọi $x_0$, khi đó phương trình $$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(x_0-3 \right) \left(y-2 \right)=1$$ luôn có nghiệm với mọi $x_0$.

Hay $x_0 \left(x+y-3 \right)+6-x-3y=0$ có nghiệm với mọi $x_0$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y-3=0 & \\
6-x-3y=0&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}$$

Vậy điểm cố định cần tìm là $N \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$

 

 

 

1. Họ và tên thật              :      Phạm Văn Hoàng

 

2. Đang học lớp               :     12A2 chuyên tin

   Trường                          :     THPT Chuyên Phan Bội Châu

   Huyện/Thành Phố         :      Vinh

   Tỉnh                              :      Nghệ An

 

3. Đề Bài

 

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

4. Lời giải

 

Phương trình đã cho tương đương với

$$\left ( \sin 4x-\sin 2x \right )+\left ( \sin 2x-\cos x \right )+\left ( 2-4\sin x \right )=\cos 3x$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2\cos 3x\sin x \right )+\cos x\left ( 2\sin x-1 \right )+\left ( 2-4\sin x \right )=0$$

$$\left ( 2\sin x-1 \right )\left ( \cos 3x+\cos x-2 \right )=0$$

$$\begin{bmatrix}
 & 2\sin x-1=0 \left ( 1 \right )\\
 & \cos 3x+\cos x-2=0 \left ( 2 \right )
\end{bmatrix}$$

Giải $\left ( 1 \right )$ : $\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
 x=\dfrac{\pi}{6}+k2 \pi& \\
 x=\dfrac{5\pi}{6}+k2 \pi&
\end{bmatrix}\left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

 

Giải $\left ( 2 \right )$ :

$\left ( 2 \right ) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\cos 3x=1 & \\
\cos x=1&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=k2 \pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

Kết luận : Phương trình đã cho có $3$ họ nghiệm thoả mãn :

$x= \dfrac{\pi}{6}+k2 \pi$ $\vee$ $x= \dfrac{5\pi}{6}+k2 \pi$ $\vee$ $x=k2 \pi$

 

 

Bài này cũng được!

1. Họ và tên thật              :      Phạm Văn Hoàng

 

2. Đang học lớp               :     12A2 chuyên tin

   Trường                          :     THPT Chuyên Phan Bội Châu

   Huyện/Thành Phố         :      Vinh

   Tỉnh                              :      Nghệ An

 

3. Đề Bài

    Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

    $$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}=27-x^3 & \\
 \left ( x-2 \right )^4+1=y&
\end{matrix}\right.$$

4. Lời giải

 

ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix}
x \geq 2 & \\
y \geq 1 &
\end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ $2$ của hệ ta có : $\left(x-2 \right)^4=y-1$ $\Rightarrow \left(x-2 \right)^2=\sqrt{y-1}$

Thay vào phương trình thư nhất ta được :

$$\sqrt{x-2}=27-x^3+x^2-4x+4$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}+x^3-x^2+4x-31=0 \left(* \right)$$

Xét hàm số $f \left(x \right)=\sqrt{x-2}+x^3-x^2+4x-31$ với mọi $x \geq 2$

Ta có :

$$f' \left(x \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}+3x^2-2x+4$$

Dễ thấy $f' \left(x \right) > 0$ với mọi $x > 2$, do vậy $f \left(x \right)$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left ( 2,+\infty  \right )$, mặt khác $f \left(3 \right)=0$ $\Rightarrow x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình $\left (* \right)$, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=2$. (thoả mãn ĐKXĐ)

 

Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left ( x,y \right )=\left ( 3;2 \right )$