hoangkkk

$\blacksquare$ Cho $f \left(x \right)$ là hàm số xác định và liên tục tai mọi $x \neq 0$, lấy giá trị không âm thỏa mãn điều kiện :

 

$f\left ( x \right ) \leq k \int_0^{x}f\left(t \right)dt$ $\forall x \geq 0$.Trong đó $k$ là một hằng số dương.

 

Chứng minh rằng : $f \left(x \right)=0$ $\forall x \geq 0$

Bài 1 : Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực không âm thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=2x^3+y^3+z^3$$

(Đề khảo sát chất lượng lớp $12$, lần $3$, năm $2013$ của trường chuyên Đại Học Vinh)

 

Bài 2 : Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P=\left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$$

(Đề thi thử Đại học lần $2$, năm $2013$ của trường chuyên Phan Bội Châu)

Cho $a,b,c$ là ba số thưc dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab-a+5}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc-c+5}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ca-c+5}}$$

 

Đề thi thử Đại Học lần I năm 2013 của trường chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

(Nguyên văn câu này là như vậy, mình thấy đề hơi lạ )

I. PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7 điểm)

 

 

Câu 1 : Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( H \right )$ của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left ( H \right )$ biết tiếp điểm của tiếp tuyến đó với $\left ( H \right )$ cách điểm $A\left ( 0;1 \right )$ một khoảng bằng $2$.

 

Câu 2 : Giải phương trình :

$$\left ( 1-\cos x \right )\cot x+\cos 2x+\sin x=\sin 2x$$

 

Câu 3 : Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+xy+x+3=0 & \\
\left ( x+1 \right )^2+3\left ( y+1 \right )+2\left ( xy-\sqrt{x^2y+2y} \right )=0 &
\end{matrix}\right. \left ( x,y \in \mathbb{R} \right )$$

 

Câu 4 : Tính tích phân : $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x\ln\left ( 1+\sin x \right )}{\sin^2x}dx$

 

Câu 5 : Cho tứ diện $ABCD$ có mặt phẳng $\left ( ABC \right )$ vuông góc với mặt phẳng $\left ( BCD \right )$, tam giác $BCD$ vuông ở $D$. Biết rằng $AB=a\sqrt{15}$, $BC=3a\sqrt{3}$, $CA=a\sqrt{6}$; góc giữa hai mặt phẳng $\left ( ACD \right )$ và $\left ( BCD \right )$ bằng $60^0$ . Tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$ và khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left ( ACD \right )$ theo a.

 

Câu 6 : Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$$

 

 

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)

 

a) Theo chương trình Chuẩn

 

Câu 7.a : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right ) : \left ( x-1 \right )^2+\left ( y-2 \right )^2=5$ và đường thẳng $d : x+y+2=0$. Từ điểm $A$ thuộc $d$ kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với $\left ( C \right )$ tại $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $8$. Tìm tọa độ điểm $A$.

 

Câu 8.a : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left ( -1;0;1 \right )$, $B\left ( -1;3;2 \right )$, $C\left ( 1;3;1 \right )$. Tìm điểm $D$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left ( P \right ) : x+y+z=0$, $\left ( Q \right ) : y-z-1=0$ sao cho thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng $3$.

 

Câu 9.a : Cho số phức $z$ thỏa mãn $1+\overline{z}=\left | \overline{z}-i \right |^2+\left ( iz-1 \right )^2$. Tính mô đun của $z+\frac{4}{z+1}$.

 

b) Theo chương trình Nâng cao

 

Câu 7.b : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $\Delta _1 : x-y+1=0$, $\Delta _2=x+7y+1=0$. Viết phương trình đường tròn $\left ( C \right )$ tiếp xúc với $\delta _1$ tại $M\left ( 1;2 \right )$ và tiếp xúc với $\delta _2$.

 

Câu 8.b : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( P \right ):x-2y-z-5=0$ và các điểm $A\left ( 3;-1;-3 \right )$, $B\left ( 5;1;1\right )$. Tìm điểm $\left ( C \right )$ thuộc $(P)$ sao cho mặt phẳng $\left ( ABC \right )$ vuông góc với $(P)$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{3}$.

 

Câu 9.b : Tìm số phức $z$ biết $\left | z \right |=\left | 2\overline{z}-\sqrt{3}+i \right |$ và $\frac{\left ( 1+i \right )z}{1-\sqrt{3}+\left ( 1+\sqrt{3} \right )i}$ có một acgumen bằng $-\frac{\pi}{6}$.

Cho $n$ đồng xu có bán kính lần lượt là $r_1$, $r_2$,$...$, $r_n$ được đặt xung quanh một vòng tròn sao cho mỗi đồng xu tiếp xúc với hai đồng xu cạnh nó và tiếp xúc với vòng tròn. Ký hiệu vòng tròn đó là $\left ( O,R \right )$. Xây dựng thuật toán tìm độ dài bán kính $R$.