tramyvodoi

cho ma trận A thỏa $A=A^{t}$. Chứng minh A chéo hóa được

cho x² + y² +z² =3 . Chứng minh :

$\frac{4+x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}\geq \frac{5}{3}$

 

có lẽ là nên dùng bđt jensen nhưng chứng minh hàm lồi có ai chứng minh được không ?

Để ý 1 chút, ta thấy $\sụm \frac{4+x}{4-x^{2}}=\frac{1}{2-x}+\frac{2}{4-x^{2}}$.

Ta đưa bài toán về tìm max của $\sum \frac{1}{2-x}$ và $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1. Nên ta sẽ chứng minh

$\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

Áp dụng bđt C-S:

$\sum \frac{x}{2-x}=\sum \frac{x^{4}}{2x^{3}-x^{4}}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}\geq \frac{9}{2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{4}-y^{4}-z^{4}}$

Ta sẽ chứng minh $2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}-x^{4}-y^{4}-z^{4}\leq 3$         (1)

Ta có $x^{4}+x^{2}\geq 2x^{3}$

Thực hiện 2 bdt tương tự rồi cộng theo vế, kết hợp với giả thiết $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ ta chứng minh được (1)

Ta sẽ tìm min của $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

Ta có $\sum \frac{2}{4-x^{2}}=2.\sum \frac{1}{4-x^{2}}\geq 2.\frac{9}{12-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\geq 2$

Từ đây ta tìm được min của bài toán

Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng :

$$\frac{(a+b).(a+b+c).(a+b+c+d)^{2}}{abcd}\geqslant 64.$$

 

----------------------------------

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức $(x+y)^{2}\geq 4xy$ ta được:

$(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)^{2}\geq (a+b)(a+b+c)4(a+b+c)d$

$\geq 4d(a+b)(a+b+c){2}\geq 4d(a+b)4(a+b)c\geq 16cd(a+b)^{2}\geq 16cd.4ab\geq 64abcd$

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy P sao cho PC=2PB. Tính $\widehat{ACB}$ biết $\widehat{ABC}=45^{\circ}; \widehat{APC}=60^{\circ}$.

Gọi H là hình chiếu của A xuống BC.

Do $\widehat{ABC}=45^{o}$ nên BH=BA

Đặt BC=3a suy ra BP=a, PC=2a.

Ta có a+PH=BP+Ph=BH=HA=PH.$\sqrt{3}$. Từ đây tính được PH theo a.

Ta cũng tính được AH theo a.

HC=PC-PH=2a-PH. Từ đây ta tính được HC theo a

Tam giác AHC ta tính được AH, HC theo a thì ta có thể tính được góc C dựa vào công thức tan

$x^4+\sqrt{x^2+2006}=2006$

Mình sẽ giải phương trình này sau, bây giờ đố các bạn đã

Đặt $t^{2}=\sqrt{x^{2}+2006}$

Ta được hệ sau: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+t^{2}=2006 & \\ t^{4}=x^{2}+2006 & \end{matrix}\right.$

Đến đây trừ theo vế của 2 pt cho nhau là ra

P/s: sao bạn không giải trước rồi đố mà phải đố rồi "giải sau"?

     Xem lại cách đặt tên topic nha

Giải hệ phương trình :

$\begin{Bmatrix}y^3-9x^2+27x-27=0 \\z^3-9y^2+27y-27=0 \\x^3-9z^2+27z-27=0 \end{Bmatrix}$

Cộng 3 pt đã cho của hệ ta được$(x-3)^{3}+(y-3)^{3}+(z-3)^{3}=0$     (1)

Nếu x>3 thì $x^{3}> 27$ 

$\Rightarrow 9z^{2}-27z+27> 27$

$\Rightarrow 9z(z-3)> 0$

$\Rightarrow z> 3$ (vì x,y,z>0)

Với $z>3$ tương tự ta cũng chứng minh được $y>3$. Vậy (1)>0 vô lý

Nếu $x<3$ chưng minh tương tự ta được điều vô lý. Vậy $x=3$

Chứng minh tương tự ta được $x=y=z=3$

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

$\boxed{1}$. GIải phương trình: 

 

                    $\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$ ( Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9- năm 2005-2006Thừa Thiên Huế)

 

$\boxed{2}$.

$$\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & & \\ y^4+3=4x & & \end{matrix}\right.$$

Mình xin giải bài 2)

Dễ thấy x, y đều dương. Khi đó áp dụng bđt AM-GM

Ta có $x^{4}+4=x^{4}+1+1+1\geq 4y$

$\Rightarrow x^{4}+4\geq 4x$

$\Rightarrow 4y\geq 4x$

$\Rightarrow y\geq x$

Tương tự ta cũng suy ra được $\Rightarrow x\geq y$

Vậy x=y. Thay vào đề ta suy được x=y=1

Bài 1

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x^{2}+y^{2}+2\sqrt{x+y}=\sqrt{4x+3y}+\sqrt{4x+5y} \end{matrix}\right.$

 

Bài 2

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+12x^{2}+49x+63=5\sqrt{1-2y}-2y\left (3+\sqrt{1-2y} \right )\\ x^{2}-16x-4y-11=3\sqrt{x^{4}+6xy+22x^{2}+7x-4y-15} \end{matrix}\right.$

Mình xin giải bài 1 như sau:

Ta có $x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1$

$\Rightarrow (x+y)^{2}-2xy+\frac{2xy}{x+y}=1$

$\Rightarrow (x+y)^{3}-2xy(x+y)+2xy=x+y$

$\Rightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)=2xy(x+y-1)$

$\Rightarrow (x+y-1)((x+y)(x+y+1)-2xy)=0$

$\Rightarrow x+y=1$

Ta có VT$=x^{2}+y^{2}+2\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}+2\geq 4$

VP $=\sqrt{4x+3y}+\sqrt{4x+5y}\leq \sqrt{2(4x+3y+4x+5y)}\leq \sqrt{16(x+y)}\leq 4$

Từ đây dẫn đến dấu "=" xảy ra $\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=5 & & \\
3x^2+ y^2+5x=4xy+y+2& &
\end{matrix}\right.$$

 

Viết phương trình (2) lại dưới dạng:

$3x^{2}-x(4y-5)+y^{2}-y-2=0$

$\Delta= (4y-5)^{2}-4.3(y^{2}-y-2)=4y^{2}-28y+49=(2y-7)^{2}$

Đến đây ta tính được x theo y. Thay vào phương trình (1) ta tìm được nghiệm

Cho 2 số nguyên dương $x;y$ thỏa $x + y = 2013$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của $P = x( x^2 + y ) + y( y^2 + x )$

P=$x^{3}+y^{3}+2xy$

$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+2xy$

$=2013^{3}-3xy.2013+2xy$

$=2013^{3}-6037xy$

$=2013^{3}-6037x(2013-x)$

Đến đây khảo sát hàm số f(x) trên $[0.2013]$ là ra

Bài toán:

Hỗn hợp $B$ gồm $Fe$ và $FeO$. Cho $B$ tác dụng với dung dich $HCl$ dư, thu được $4,48l$ khí (đktc). Mặt khác, cho $B$ tác dụng với dung dịch $H_2SO_4$ đặc, nóng, dư thu được dung dịch $C$ và $6,72l$ khí $SO_2$ ( sản phẩm khử là duy nhất).

$a)$ Tính % khối lượng các chất trong $B$.

$b)$ Cho dung dich $C$ tác dụng hết với dung dich $NaOH$ dư, lọc lấy kết tủa , nung nóng trong không khí đén khối lượng không đổi được $m$ gam rắn. Tính $m$.

$Fe\rightarrow H_{2}$

$\Rightarrow n_{Fe}=n_{H_{2}}= \frac{4.48}{22.4}=0.2$

$Fe\rightarrow Fe^{3+}+3e$

0.2                           0.6

$Fe^{+2}\rightarrow Fe^{3+}+e$

a                             a

$2H^{+}+SO_{4}^{2-}+2e\rightarrow SO_{2}+2H_{2}O$

                                   0.6                 a

Theo định luật bảo toàn ion: tổng e cho=tổng e nhận

$\Rightarrow 0.6+a=0.6$

$\Rightarrow a=0$

Đề sai rùi

Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực không âm, chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$

Áp dụng bđt quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Ta có $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{a+3b+a+b+2c}\geq \frac{2}{a+2b+c}$

Thực hiện 2 bđt tương tự rùi cộng theo vế ta được đpcm

tìm giới hạn của dãy $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=\frac{3u_n+4}{u_n+1}\end{matrix}\right.$ (dùng kiến thức sơ cấp nhất để giả

Trước khi trình bày lời giải tổng quát, mình xin nhắc lại 1 số "viên gạch nền"

Giải sữ ta có dãy sau $u^{n+2}+bu^{n+1}+cu^{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$aX^{2}+bX+c=0$    (1)

TH1: nếu phương trình (1) có 2 nghiệm X1, X2 thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là $u_{n}=AX_{1}^{n}+BX_{2}^{n}$ với A, B là hằng số.

Th2: nếu phương trình (1) có 1 nghiệm $X_{1}=X_{2}=X_{k}$ thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là $u_{n}=(A+Bn)x_{k}^{n}$

TH3. nếu phương trình (2) có nghiệm phức $x+yi=r(cos\gamma +isin\gamma )$ thì $u_{n}$ có công thức tổng quát là:

$u_{n}=r^{n}(Acosn\gamma +Bsinn\gamma )$ với $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

3 công thức này có thể chứng minh tương đối dễ dàng.

Trờ lại bài toán:

Cho $u_{1}=a$

$u_{n+1}=\frac{pu_n+q}{ru_{n}+s}$

Ta sẽ đặt $u_{n}=\frac{y_{n}}{z_{n}}$. Khi đó:

$\frac{y_{n+1}}{z_{n+1}}=\frac{py_{n}+qz_{n}}{ry_{n}+sz_{n}}$

Đén đây, ta giải hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} y_{n+1}=py_{n}+qz_{n} & \\ z_{n+1}=ry_{n}+sz_{n} & \end{matrix}\right.$

Trong phương trình đầu của hệ, thay n=n+1 và để ý chút:

$y_{n+2}=py_{n+1}+qz_{n+1}=py_{n+1}+q(ry_{n}+sz_{n})$.

$\Leftrightarrow y_{n+2}-(p+s)y_{n+1}+(ps-qr)y_{n}=0$

Đến đây mình làm tiếp được rùi, dựa vào 3 trường hợp mình đã nêu.

Bài toán tổng quát được giải quyết xong.

P/s: khi đi thi, thì tất cả những bước trên mình chỉ cần làm trong nháp thui, sau đó ném kết quả vào với câu: ta sẽ chứng minh dãy số cần tìm có dạng abcxyz bla bla bằng quy nạp. Giám khảo sẽ ngở ngàng cho mà xem.^^

Đề bài :Cho hai số dương $x;y$ thỏa mãn : $x+2y=3.$

 

Chứng minh rằng :$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geqslant 3.$

Áp dụng bđt AM-GM:

$\frac{1}{x}+x\geq 2$

$\frac{2}{x}+2y\geq 4$

Công theo vế ta được:

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geq 6-(x+2y)\geq 3$