Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


TieuSonTrangSi

Đăng ký: 23-12-2004
Offline Đăng nhập: 31-08-2006 - 23:00
*****

#30023 Vẻ đẹp của phép chứng minh phản chứng

Gửi bởi TieuSonTrangSi trong 05-08-2005 - 19:20

Tôi không phải là ngocson52 nhưng xin mạo muội phát biểu vài điều :

1) Phản chứng không phải chỉ dùng để chứng minh không tồn tại một cái gì đó. Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh tồn tại (lúc đó phải giả sử là không tồn tại rồi đi đến một mâu thuẫn) hoặc bất cứ một tính chất nào khác ngoài câu hỏi tồn tại/không tồn tại. Ví dụ :

- trong môn giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào ? Thông thường thì người ta đưa ra một ví dụ cụ thể của một hàm như vậy. Đó là cách chứng minh "xây dựng" (constructive). Nhưng cũng có một cách chứng minh trừu tượng hơn, bằng "phản chứng" (by contradiction), dựa trên một định lý tôpô của Baire. Cách này khá dài, tôi sẽ không viết ra, nhưng chỉ cần biết là nó có...

- tương tự, cũng trong giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục mà chuỗi Fourier phân kỳ ? Cũng bằng phản chứng, phối hợp với định lý tôpô của Baire.

- trong hình học, đại số, tổ hợp, phương pháp phản chứng cũng được sử dụng rất nhiều để chứng minh đẳng thức, bđt...

2) Tôi không biết Hilton-Griss là ai, nhưng về cơ sở lý thuyết logic của chứng minh phản chứng thì vào đầu thế kỷ 20 có nhiều nhà toán học đặt vấn đề. Một trong những nhà toán học đó là Jan Brouwer (1881-1966), người Hòa Lan, đứng đầu trường phái "trực giác" (intuitionism). Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức (formalism) của Hilbert và chủ nghĩa logic (logicism) của Russell. Đặc biệt, Brouwer bài bác tất cả những cách chứng minh dựa trên nguyên tắc phản chứng (principle of the excluded middle). Theo ông, mọi chứng minh đều phải có tính cách "xây dựng".

Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm cho Brouwer mất ăn mất ngủ, thậm chí nghi vấn về giá trị của những thành quả (trong lĩnh vực tôpô) của mình. Ông không bao giờ dạy tôpô, chỉ dạy "cơ sở triết lý toán" theo cái nhìn của phái "trực giác".

Có một điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra một định lý về điểm cố định (fixed point theorem) rất quan trọng. Vào thế kỷ 21, trong sách vở giáo khoa về tôpô/giải tích, cách chứng minh ngắn gọn nhất của định lý Brouwer lại là cách... phản chứng !!


#29486 Định lý Fermat Euler về tổng hai bình phương

Gửi bởi TieuSonTrangSi trong 01-08-2005 - 16:23

Trước khi ghi ra thêm 2 cách chứng minh Euler-Fermat, xin nói hai chuyện nhỏ :

- Rất thích cách của K09 cho định lý Minkowski :clap Tìm ra thêm được cách nào thì em cứ post lên nhé !

- Trong bài của thầy Namdung hình như công thức tính diện tích ellipse đã biến mất :cry Sau hàng "Mà diện tích này thì bằng", trước câu "chỗ không sơ cấp duy nhất", trên máy tôi chỉ thấy một hàng trắng...

Cách xuống thang của Euler-Fermat
Vì -1 là thặng dư bậc hai đối với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,m sao cho http://dientuvietnam...etex.cgi?0<m<p. Do đó, tập hợp các số nguyên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m (http://dientuvietnam...metex.cgi?0<m<p) sao cho tồn tại hai số nguyên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x,y thỏa mãn

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0 của tập hợp này. Nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?m_0=1 thì ta có đpcm. Giả sử http://dientuvietnam...etex.cgi?m_0>1. Nhận xét rằng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m_0 không thể là ước số chung của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?x và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y, vì nếu sự việc này xảy ra, ta sẽ có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c,d sao cho hai số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1=x-cm_0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_1=y-dm_0 thỏa mãn

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0 (do bđt :()

Nhân hai vế của phương trình này với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2+y_2=m_0p, ta thu được

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xx_1+yy_1=x(x-cm_0)+y(y-dm_0)=m_0X, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X=p-cx-dy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xy_1-x_1y=x(y-dm_0)-y(x-cm_0)=m_0Y, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y=cy-dx.

Đơn giản cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0^2 thì ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_1p=X^2+Y^2, với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<m_1<m_0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m_0.

Cách lưới nguyên của Grace
Cũng vì -1 là thặng dư bậc hai, tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell nguyên sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda của mặt phẳng, ta xét các điểm nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (phải kiểm rằng đây là một lưới, nhưng không khó). Lấy một vòng tròn lớn có tâm tại gốc tọa độ. Trong vòng tròn này, tỷ lệ số điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Lambda thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M "gần" bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p, và có giá trị tiệm cận là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1/p khi bán kính vòng tròn tiến tới vô cực. Vậy, diện tích của hình bình hành cơ bản của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M phải bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=(\xi,\eta) một điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M nằm gần gốc tọa độ nhất. Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\eta\equiv\ell\xi\;&#091;p] nên

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\xi\equiv\ell^2\xi\equiv\ell\eta\;&#091;p].

Vì thế, điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=(-\eta,\xi) cũng thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Trong tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OAB không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M (theo định nghĩa của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A). Trong hình vuông dựng trên các cạnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?OA,OB, cũng không có điểm nào của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Do đó, hình vuông này là hình bình hành cơ bản của lưới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M. Diện tích của nó bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, tức là

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\xi^2+\eta^2=p.


#29343 Định lý Fermat Euler về tổng hai bình phương

Gửi bởi TieuSonTrangSi trong 31-07-2005 - 00:36

Bài thầy namdung tặng diễn đàn tuyệt hay :( Tôi xin phát biểu vài nhận xét nhỏ sau :

1) Định lý Minkowski, trong cách thứ ba, cách đây không lâu được naluv post lên đố mọi người

http://diendantoanho...wtopic=5504&hl=

và đã được hoang giải. Cách giải của hoang lại dùng một kết quả mạnh hơn (dù là hệ quả của) định lý Fermat-Euler : Một số nguyên n là tổng của 2 bình phương nếu và chỉ nếu mọi ước số nguyên tố dạng 4m+3 của n đều có số mũ chẵn trong phân tích thừa số nguyên tố của n.

Thiết nghĩ, vì ở đây (cách thứ ba) ta không muốn dùng kết quả trên (nếu không thì rắn cắn đuôi !) nên mới có phần "không sơ cấp" trong việc thiết lập bổ đề Minkowski.

2) Trong phần giới thiệu, thầy có nói về cách xuống thang của Fermat-Euler. Nhưng trong phần khai triển, không thấy cách ấy được trình bày.

3) Trong quyển "An Introduction to the Theory of Numbers", Hardy & Wright cung cấp 4 cách chứng minh của định lý Fermat-Euler. Cách thứ 2 (trong sách H & W) là cách của Lagrange. Cách thứ 3 của họ là xuống thang của Fermat-Euler. Còn cách thứ 4 cũng dùng khái niệm "lưới nguyên" trong mặt phẳng tọa độ, nhưng không "cao cấp" bằng cách Minkowski. Các tác giả cho rằng đây là cách của Grace.


#23783 Hỏi - Đáp về Danh nhân Toán học

Gửi bởi TieuSonTrangSi trong 15-06-2005 - 23:18

Có ai biết về ai là người tìm ra số e không?

John NEPER (còn viết là NAPIER), 1550-1617.


#6678 Tích phân Lebesgue và Riemann?

Gửi bởi TieuSonTrangSi trong 01-02-2005 - 15:09

Theo mình hiểu một cách "trực giác" thì thích phân Lebesgue chia nhỏ miền giá trị (chứ không phải miền xác định như Rieman) rồi sau đó tích tổng diện tích các hình chữ nhật tương tự như Rieman.

Trực giác của bạn hay đấy :beat . Theo tôi nhớ thì chính Lebesgue đã từng so sánh tích phân của ông với tích phân Riemann qua hình ảnh sau :

Bạn muốn đếm tiền trong bóp. Có hai cách đếm. Cách thứ nhất, bạn lần lược lấy từng tờ giấy bạc (hoặc từng đồng bạc cắc) từ trong bóp ra, theo thứ tự có sẵn trong bóp, rồi cộng dần dần lại. Đây là cách của Riemann (làm việc trên miền xác định). Cách thứ nhì, bạn lấy hết tài sản ra, rồi sắp lại thành từng chồng theo trị giá của mỗi tờ giấy : một chồng chỉ toàn những tờ 10$, một chồng chỉ gồm những tờ 20$... tính trị giá từng chồng rồi cộng lại. Đây là cách của Lebesgue (làm việc trên miền giá trị).

Dĩ nhiên, đây chỉ là cách nói "vui", không đả động gì đến độ đo. :wub: