1) Phản chứng không phải chỉ dùng để chứng minh không tồn tại một cái gì đó. Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh tồn tại (lúc đó phải giả sử là không tồn tại rồi đi đến một mâu thuẫn) hoặc bất cứ một tính chất nào khác ngoài câu hỏi tồn tại/không tồn tại. Ví dụ :
- trong môn giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào ? Thông thường thì người ta đưa ra một ví dụ cụ thể của một hàm như vậy. Đó là cách chứng minh "xây dựng" (constructive). Nhưng cũng có một cách chứng minh trừu tượng hơn, bằng "phản chứng" (by contradiction), dựa trên một định lý tôpô của Baire. Cách này khá dài, tôi sẽ không viết ra, nhưng chỉ cần biết là nó có...
- tương tự, cũng trong giải tích, làm sao chứng minh rằng tồn tại những hàm liên tục mà chuỗi Fourier phân kỳ ? Cũng bằng phản chứng, phối hợp với định lý tôpô của Baire.
- trong hình học, đại số, tổ hợp, phương pháp phản chứng cũng được sử dụng rất nhiều để chứng minh đẳng thức, bđt...
2) Tôi không biết Hilton-Griss là ai, nhưng về cơ sở lý thuyết logic của chứng minh phản chứng thì vào đầu thế kỷ 20 có nhiều nhà toán học đặt vấn đề. Một trong những nhà toán học đó là Jan Brouwer (1881-1966), người Hòa Lan, đứng đầu trường phái "trực giác" (intuitionism). Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức (formalism) của Hilbert và chủ nghĩa logic (logicism) của Russell. Đặc biệt, Brouwer bài bác tất cả những cách chứng minh dựa trên nguyên tắc phản chứng (principle of the excluded middle). Theo ông, mọi chứng minh đều phải có tính cách "xây dựng".
Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm cho Brouwer mất ăn mất ngủ, thậm chí nghi vấn về giá trị của những thành quả (trong lĩnh vực tôpô) của mình. Ông không bao giờ dạy tôpô, chỉ dạy "cơ sở triết lý toán" theo cái nhìn của phái "trực giác".
Có một điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra một định lý về điểm cố định (fixed point theorem) rất quan trọng. Vào thế kỷ 21, trong sách vở giáo khoa về tôpô/giải tích, cách chứng minh ngắn gọn nhất của định lý Brouwer lại là cách... phản chứng !!
- HungPhuPhan02011964 yêu thích