Tìm kiếm
Nam
Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm
Nhân $(x+y)$ cả tử và mẫu rồi dùng trực tiếp Cauchy Schwarz
- RoyalMadrid yêu thích
#481893 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...
Gửi bởi
trong 08-02-2014 - 11:12
#481396 Tìm min, max của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...
Gửi bởi
trong 06-02-2014 - 15:43
Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:
$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$
Có ở đây nè bạn http://diendantoanho...-psum-fracxy1z/
- RoyalMadrid yêu thích
#478845 $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac...
Gửi bởi
trong 24-01-2014 - 20:51
CMR $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$
BDT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$
$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
$VT= \frac{1}{b+c}(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})+\frac{bc}{a(a+b)}$
Mà $(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})(abc+a^2c)\geq (ac+ab)^{2}$
$\Rightarrow (\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})\geq \frac{a^2(b+c)^2}{ac(a+b)}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a(b+c)}{c(a+b)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
$\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b$
$\Leftrightarrow a^2b+bc^2\geq 2abc$ (Đúng)
- leduylinh1998 yêu thích
#478824 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...
Gửi bởi
trong 24-01-2014 - 20:19
$MAX$ mới nghĩ ra
$P=\sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{x}{1+z}+\sum \frac{y}{1+z}$
$\leq \sum \frac{x}{x+z}+\sum \frac{y}{y+z}=3$
(Vì $x,y,z\leq 1$)
- RoyalMadrid yêu thích
#478736 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...
Gửi bởi
trong 24-01-2014 - 10:13
Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:
$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$
$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$
$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$
$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$
$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$
Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
- RoyalMadrid yêu thích
#478612 $\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2...
Gửi bởi
trong 23-01-2014 - 17:28
Lâu lắm rồi không đưa người yêu lên...
Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CM
$\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Đề thi thử đại học lần 1 khối A, $A_{1}$ tỉnh Vĩnh Phúc.
$VT$ $=\sum \frac{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca}{a^2+b^2+c^2+2ab}$
$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}})$
$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+[\frac{1}{4}(a+b)^2+c^2]})$
$\geq \sum(1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+c(a+b)})$
$=\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})$
Vậy cần chứng minh $\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow \sum (2-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}+3=\frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{6a+6b}{3a+3b+4c}\geq \frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}\geq \frac{3}{5}$
BĐT này đúng vì $\sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}= \sum \frac{(a+b)^{2}}{3(a+b)^2+c(a+b)}$
$\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum [ 3(a+b)^2+c(a+b)]}\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$ Đúng
- tim1nuathatlac, ongngua97, hoctrocuanewton và 3 người khác yêu thích
#477577 $P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]...
Gửi bởi
trong 16-01-2014 - 18:54
Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:
$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$
- hoangmanhquan yêu thích
#469264 GTNN của $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d...
Gửi bởi
trong 06-12-2013 - 17:51
Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=1$
Tìm Min của $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}$
- firetiger05 yêu thích
#462751 $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+...
Gửi bởi
trong 07-11-2013 - 20:55
Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh
$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
- Sagittarius912, hoctrocuanewton, datcoi961999 và 1 người khác yêu thích
#462238 $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+...
Gửi bởi
trong 05-11-2013 - 16:14
Với $a,b,c$ dương; $a+b+c=3$.Chứng minh:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$
- hoctrocuanewton và leduylinh1998 thích
#453735 $\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}...
Gửi bởi
trong 28-09-2013 - 21:34
Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của
$\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}{1+bc}+\frac{a+b+c}{1\sqrt{2}abc}$
- nghiemthanhbach yêu thích
#449370 $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}...
Gửi bởi
trong 11-09-2013 - 10:08
Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$
- Dung Dang Do và thuynguyenly thích
#448306 $x^{n}y^{n}(x^{n}+y^{n})\le...
Gửi bởi
trong 06-09-2013 - 21:30
#431218 $sin^6xcos^2x+sin^2xcos^6x=\frac{1}{8}(1-cos^42...
Gửi bởi
trong 28-06-2013 - 09:58
Chứng minh
$sin^6xcos^2x+sin^2xcos^6x=\frac{1}{8}(1-cos^42x)$
$=sin^{2}x.cos^{2}x(sin^{4}x+cos^{4}x)$
$=\frac{1}{4}sin^{2}2x(1-\frac{1}{2}sin^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}sin^{2}2x(2-sin^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}sin^{2}2x(1+cos^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}(1-cos^{2}2x)(1+cos^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}(1-cos^{4}2x)$
- diepviennhi và iloveyoubebe thích
#422196 Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$
Gửi bởi
trong 30-05-2013 - 10:53
Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$, $m,n,p=const$
Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$
- unlimitedcreativity yêu thích
