Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


VNSTaipro

Đăng ký: 14-10-2012
Offline Đăng nhập: 26-11-2014 - 23:36
****-

#481893 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 08-02-2014 - 11:12

Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm :(

Nhân $(x+y)$ cả tử và mẫu rồi dùng trực tiếp Cauchy Schwarz




#481396 Tìm min, max của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 06-02-2014 - 15:43

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

Có ở đây nè bạn http://diendantoanho...-psum-fracxy1z/




#478845 $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac...

Gửi bởi VNSTaipro trong 24-01-2014 - 20:51

CMR $\sum \frac{a}{b}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

BDT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$

$VT= \frac{1}{b+c}(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})+\frac{bc}{a(a+b)}$

Mà $(\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})(abc+a^2c)\geq (ac+ab)^{2}$

$\Rightarrow (\frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c})\geq \frac{a^2(b+c)^2}{ac(a+b)}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{a(b+c)}{c(a+b)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$

$\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b$

$\Leftrightarrow a^2b+bc^2\geq 2abc$ (Đúng)



#478824 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 24-01-2014 - 20:19

$MAX$ mới nghĩ ra

$P=\sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{x}{1+z}+\sum \frac{y}{1+z}$

$\leq \sum \frac{x}{x+z}+\sum \frac{y}{y+z}=3$
(Vì $x,y,z\leq 1$)



#478736 Tìm gtnn, gtln của $P=\sum \frac{x+y}{1+z}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 24-01-2014 - 10:13

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$
$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$
$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$
Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$



#478612 $\sum \frac{\left ( a+b-c \right )^{2...

Gửi bởi VNSTaipro trong 23-01-2014 - 17:28



Lâu lắm rồi không đưa người yêu lên...

 

Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. CM

 

$\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------

 

                   Đề thi thử đại học lần 1 khối A, $A_{1}$ tỉnh Vĩnh Phúc.

                    

 

                               

$VT$ $=\sum \frac{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca}{a^2+b^2+c^2+2ab}$

$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}})$
$=\sum (1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+[\frac{1}{4}(a+b)^2+c^2]})$
$\geq \sum(1-\frac{2c(a+b)}{\frac{3}{4}(a+b)^2+c(a+b)})$
$=\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})$
Vậy cần chứng minh $\sum (1-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow \sum (2-\frac{8c}{3a+3b+4c})\geq \frac{3}{5}+3=\frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{6a+6b}{3a+3b+4c}\geq \frac{18}{5}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}\geq \frac{3}{5}$
BĐT này đúng vì $\sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}= \sum \frac{(a+b)^{2}}{3(a+b)^2+c(a+b)}$
$\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum [ 3(a+b)^2+c(a+b)]}\geq \frac{3}{5}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$ Đúng



#477577 $P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]...

Gửi bởi VNSTaipro trong 16-01-2014 - 18:54

Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:

$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$




#469264 GTNN của $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d...

Gửi bởi VNSTaipro trong 06-12-2013 - 17:51

Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=1$

Tìm Min của $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}$




#462751 $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+...

Gửi bởi VNSTaipro trong 07-11-2013 - 20:55

Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$




#462238 $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+...

Gửi bởi VNSTaipro trong 05-11-2013 - 16:14

Với $a,b,c$ dương; $a+b+c=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$




#453735 $\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 28-09-2013 - 21:34

Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTLN của

$\frac{2a+c}{1+ac}+\frac{2b+c}{1+bc}+\frac{a+b+c}{1\sqrt{2}abc}$




#449370 $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}...

Gửi bởi VNSTaipro trong 11-09-2013 - 10:08

Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

 




#448306 $x^{n}y^{n}(x^{n}+y^{n})\le...

Gửi bởi VNSTaipro trong 06-09-2013 - 21:30

Cho $x,y>0 , x+y=2$. Chứng minh:

$x^{n}y^{n}(x^{n}+y^{n})\leq 2$


  • LNH yêu thích


#431218 $sin^6xcos^2x+sin^2xcos^6x=\frac{1}{8}(1-cos^42...

Gửi bởi VNSTaipro trong 28-06-2013 - 09:58

Chứng minh

$sin^6xcos^2x+sin^2xcos^6x=\frac{1}{8}(1-cos^42x)$

$=sin^{2}x.cos^{2}x(sin^{4}x+cos^{4}x)$
$=\frac{1}{4}sin^{2}2x(1-\frac{1}{2}sin^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}sin^{2}2x(2-sin^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}sin^{2}2x(1+cos^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}(1-cos^{2}2x)(1+cos^{2}2x)$
$=\frac{1}{8}(1-cos^{4}2x)$



#422196 Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$

Gửi bởi VNSTaipro trong 30-05-2013 - 10:53

Với $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thoả $ab+bc+ca=1$,    $m,n,p=const$

Tìm MIN của $ma^{2}+nb^{2}+pc^{2}$