Ke Vo Tinh

Bài này có một hướng khá hay sau , đưa pt về hệ :

$5^a+2^b = k.5^{a/2}.2^{b/2} (1);k.5^{a/2}.2^{b/2}=4 (2);; a+b=1 (3)$

Từ (2, 3) suy ra $ k = 2\sqrt{2}\left (\dfrac{2}{5}\right )^{a/2}$ thay vào ( 1 ) suy ra liên hệ $x, y$ sau đó bình phương rút gọn rồi giải pt bậc 2 ẩn $ x= \left (\dfrac{5}{2}\right )^{a/2}$

Em không có nhiều thời gian nên chỉ nêu ý tưởng thôi ạ, mong mọi người triển khai giùm em.

CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013

Ngày 1

Câu 1: Giải phương trình $$ x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2012}=2012 $$

Đặt $a=x^{2n}$
Ta có :
$$(-a)^2-(-a)=\sqrt{a+2012}^2-\sqrt{a+2012}$$
Đến đây, mình còn thắc mắc điều kiện của $n$ là gì nhỉ.

Bài 5:(3 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài các cạch của một tam giác;còn $x,y,z$ là độ dài các đường phân giác trong tam giác đó.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$.

BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b+c}{bc\cos{\dfrac{A}{2}}}+\dfrac{c+a}{ca\cos{\dfrac{B}{2}}}+\dfrac{a+b}{ab\cos{\dfrac{C}{2}}} \right ) \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$
Đúng vì $0<\cos{\dfrac{A}{2}}, \cos{\dfrac{B}{2}}, \cos{\dfrac{C}{2}} < 1$

Bài 3. Cho $x,y,z\ge0$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng
$$2(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2+18xyz\ge 1.$$

Đồng bậc, ta cần chứng minh :
$$2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+18xyz\ge (x+y+z)^2 \Leftrightarrow x^2+y^3+z^3+3xyz+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$
Đúng theo Schur và $xyz\ge 0$ Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}, z=0$ và các hoán vị.

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia trường THPT Chuyên ĐHSPHN năm 2012-2013
Ngày thi thứ nhất

Bài 1:
Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{4x+5}{x^{3}+xy^{2}+3xyz}\geq \frac{162}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+27}$

$$\sum\dfrac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz} =\sum \dfrac{4+\dfrac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz} \ge \dfrac{\left (\sum \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}\right )^2}{2(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)} \ge \dfrac{2.\left (\sum \dfrac{3}{\sqrt[18]{x}}\right )^2}{x^2+y^2+z^2+27} \ge \dfrac{2.27^2}{(\sqrt[18]{x}+\sqrt[18]{y}+\sqrt[18]{z})^2(x^2+y^2+z^2+27} \ge \dfrac{2.27^2}{9.(x^2+y^2+z^2+27)} =\dfrac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$$